Teoria de juegos

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NÚMERO SURREAL
En matemática, los números surreales son una clase de números que incluyen a todos los números reales, "infinitos" (mayores o menores que cualquier número real) e "infinitesimales", aquellos que están más próximos a cero que cualquier número real. Todos los números reales están rodeados de números surreales, que están más próximosde sí mismos que cualquier otro número real.
Los números surreales tienen estructura de cuerpo ordenado, lo que significa que sobre ellos están definidas las cuatro operaciones aritméticas básicas (adición, substracción, multiplicación y división) y que estas se comportan según lo esperado. El inverso multiplicativode un número infinito es un infinitesimal no-nulo, y vice-versa.
Fueroninicialmente propuestos por John H. Conway en 1970, y más tarde desarrollados por Donald Knuth en su libro de 1974 Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness.
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Referencias
* Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness. 1974, ISBN 0-201-03812-9.Definición inicial por Donald Knuth. Más información puede ser consultada en the book's official homepage

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EQUILIBRIO DE NASH
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Un juego rectangular se define como una terna (N,Dj,φj), donde N es el conjunto de jugadores, Dj es el conjunto de estrategiaspara cada jugador j y

son las llamadas funciones de pago, que a cada conjunto de estrategias (una para cada jugador) le asocia un respectivo pago al jugador j.
Denotaremos 
Por otro lado dado un juego rectangular (N,Dj,φj), decimos que  es una estrategia mixta del jugador j, si para toda ,  y . El entero lj denota el número de estrategias puras del jugador j.
Intuitivamente, una estrategiamixta es un vector que asocia cierta probabilidad a cada estrategia pura del jugador j, de ahí que cada entrada tenga que ser no negativa y la suma de todas ellas sea 1.
En una estrategia mixta Xj del jugador j,  se interpreta como el peso o probabilidad que el jugador j le asocia a su estrategia pura σj.
La letra Mj denotará al conjunto de estrategias mixtas del jugador j y M al productocartesiano de los conjuntos Mj. A cada elemento de M lo llamaremos un perfil de estrategias mixtas.
Equilibrios en estrategias puras
Dado un juego rectangular (N,Dj,φj), se dice que  es un equilibrio de Nash en estrategias puras (ep) si para cada jugador en N se cumple:

y donde  representa el pago para el jugador j cuando éste decide cambiar su estrategia por cualquier otra , mientras que los demásjugadores mantienen la estrategia dada por el perfil σ.
Equilibrios en estrategias mixtas
Decimos que un perfil de estrategias mixtas X es un equilibrio de Nash en estrategias mixtas (em) si para cada jugador j∈N se cumple:

Donde Ej(X) es el pago esperado (o pago promedio) que obtendrá el jugador j al jugarse siempre el perfil de estrategias mixtas X.
Intuitivamente, un perfil deestrategias mixtas es equilibrio de Nash si, en promedio, ningún jugador puede mejorar su pago cambiando sus estrategias mixtas cuando el resto de los jugadores se mantenga con la estrategia actual.
Equilibrios de Nash para juegos extensivos
A menudo no es posible modelar un problema de la teoría de juegos a través de un juego rectangular y se hace necesario modelarlo como un juego extensivo. En estoscasos pueden buscarse los equilibrios de Nash a través de la forma normal del juego o usando diversos algoritmos en el juego extensivo, como la inducción hacia atrás.
La tragedia de los comunes
La tragedia de los comunes es una generalización del dilema del prisionero ideada por Garrett James Hardin y publicada por primera vez en su artículo "the tragedy of the commons" (1968). En este juego...