Teoria de juegos

Tipos de juegos
Los juegos se clasifican en muchas categorías que determinan qué métodos particulares se pueden aplicar para resolverlos (y, de hecho también cómo se define “resolución” en una categoría particular). En general, se pueden considerar cuatro clases de juegos:
* Juegos en forma extensiva (árbol)
* Juegos en forma estratégica (normal)
* Juegos en forma gráfica
*Juegos en forma coalicional
Las tres primeras clases de juegos se analizan en la teoría de juegos no cooperativos y la cuarta corresponde a los juegos cooperativos.
Juegos en forma de árbol
En la figura 1, tenemos dos jugadores 1 y 2, que participan en el siguiente juego. En primer lugar, el jugador 1 decide ir a la izquierda (I) o a la derecha (D). Entonces, el jugador 2 decide ir a laderecha o a la izquierda. Los pagos que corresponden al primer (segundo) jugador son la primera (segunda) componente del vector que tiene asignada cada situación.
Analicemos como deben jugar 1 y 2. El jugador 2, teniendo en cuenta los pagos que recibiría al terminar el juego, debe elegir la siguiente estrategia: si el jugador 1 elige I, ir a la derecha eligiendo d 1 ; y si 1 elige D; elegir i 2 :Esta estrategia se denotará d 1 i 2 : El jugador 1 conoce el árbol y los pagos, luego puede anticipar la conducta del jugador 2 y debe elegir D:
El par de estrategias (D; d 1 i 2 ) da lugar a un escenario en el que el jugador 1 recibe 4 y el jugador 2 recibe 8.
¿Puede alguno de los jugadores mejorar sus pagos?

Juegos en forma estratégica
En el ejemplo que estamos analizando, el jugador 1tiene dos estrategias I y D; mientras que el jugador 2 tiene cuatro estrategias dadas por
i 1 i 2 , i 1 d 2, d 1 i 2 , d 1 d 2
Podemos representar los pagos en la siguiente matriz, cuyas entradas son los vectores de pagos,

Notemos que las matrices de pagos para los jugadores 1 y 2 son, respectivamente,

El par de estrategias (D; d 1 i 2 ) es un equilibrio de Nash porque ninguna desviaciónunilateral de los jugadores les permite mejorar sus pagos, dados por (4; 8).
Definición 1: Sea N = {1,2,…., n} un conjunto de jugadores. Un juego estratégico de n personas se representa por , donde X i es el espacio de las estrategias del jugador i, y es la función de pagos del jugador i.
Cada combinación estratégica se denomina un escenario o resultado del juego. Dados un escenario x = (x 1; : : : ; x n ) y una estrategia del jugador i; denotamos mediante (x -i ; y) el escenario que obtenemos de x; reemplazando su i-ésima componente x i por y: Usando esta notación, vamos a definir el concepto más importante de la teoría de juegos no cooperativos.
El Equilibrio de Nash
A cada conjunto de estrategias denominado con frecuencia combinación de estrategias , que es una por jugador, sele asocia una salida del juego, caracterizada por las ganancias  expresadas en forma de números que le toca a cada uno. Entre estas salidas puede haber unas más “interesantes” que otras, por ejemplo las que “reportan más”. Sin embargo, como regla general, la mayoría de las salidas, si no la totalidad, no son comparables entre ellas en el sentido que el paso de una a otra se traduce en un aumentode ganancias para unos y una baja para otros.
Frente a la ausencia de una clasificación de las salidas que logre la unanimidad de los participantes, los teóricos de juegos adoptan un punto de vista mas limitado, que se puede calificar de “local” en el sentido de estudiar separadamente cada una de las salidas y las combinaciones de estrategias de las cuales ellas son el resultado; se le acuerda unestatuto privilegiado a las que son de “equilibrio”, esto es a las que los individuos, tomados uno a uno no tienen interés en desechar. El matemático John Nash estableció un importante resultado en 1950 sobre la existencia de situaciones de este tipo, se habla entonces de la existencia de equilibrios de Nash .
Así, por definición, se dice de una combinación de estrategias (una por jugador)...