Teoria de la envolvente en la economia

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Teorema de la Envolvente

En este capítulo presentamos una versión sencilla de un resultado muy útil que se llama el Teorema de la Envolvente. Teorema de la Envolvente (sin restricciones). Suponga que para cada x la función g (x; ) : R ! R es derivable y que alcanza un máximo en un único y (x) que es una función derivable de x. Entonces, la función f (x) = max g (x; y)
y

es derivable ytenemos que df (x) @g = dx @x :
(x;y(x))

Demostración. Como g (x; ) es derivable y alcanza un máximo, debemos tener que en el y (x) que maximiza g (x; ) se cumple que @g (x; y) = 0: (1.1) @y (x;y(x)) Como por de…nición f (x) = g (x; y (x)) ; tenemos que por la regla de la cadena y usando la ecuación (1.1), df (x) @g (x; y) = dx @x +
(x;y(x))

@g (x; y) @y

(x;y(x))

@g (x; y) dy (x) =dx @x

+0
(x;y(x))

@g (x; y) dy (x) = dx @x

(x;y(x))

como queríamos demostrar. Veremos ahora un ejemplo de cómo funciona el Teorema de la Envolvente. Ejemplo. Sea g (x; y) = Vemos entonces que y (y x) : El y óptimo para cada x es y (x) = x=2: Por lo tanto, f (x) = x2 =4:

df (x) x = : dx 2 Usando el Teorema de la Envolvente y @g=@x = y obtenemos @g (x; y) df (x) = dx @x = yj(x;y(x))=
(x;y(x))

x 2

que es lo mismo que hacer el cálculo directamente. En este ejemplo es útil y fácil hacer dos grá…cos. En el primero, ponemos y en las abcisas. Para cada x la función g es una parábola con un máximo en x=2 y raíces 0 y x: Eso ilustra por qué y (x) = x=2: El segundo grá…co es más interesante, e ilustra por qué se llama Teorema de la Envolvente. Gra…camos g (x; y) para y = 1; 2;3 y 4: La curva que “envuelve” a todas esas rectas “por encima” es x2 =4, es decir, la función f (x) : Esta función es la que elige, para cada x el y que hace que la función g (x; y) sea la más alta.

y

15

10

5

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

1

Así por ejemplo, tenemos que para x = 2; la recta más alta es la que corresponde a y = 1; que está gra…cada. Para esarecta, la pendiente es 1: No es casualidad que la pendiente de f (x) = x2 =4 en x = 2 es 1: En términos “intuitivos” o “económicos” el Teorema de la Envolvente nos dice que cuando cambia x; el valor máximo de f cambia por dos motivos. Primero, cambia por el cambio directo sobre g: Pero f también cambia por el cambio en g provocado por el cambio en el y óptimo. Pero como y había sido elegido en unaporción en que g era “chata” con respecto a y (@g=@y = 0 en el y óptimo) este segundo cambio no afecta el valor de f y sólo debemos preocuparnos por el cambio directo en g provocado por el cambio en x: Ilustramos esto ahora con un problema de maximización de bene…cios de una …rma. La función de bene…cios de una …rma, como función de los salarios es P (w) = max [f (l)
l

wl] :

Para hacerlo másconcreto, supongamos que f (l) = l (w) =

p

l: Tenemos entonces que

1 1 y P (w) = : 2 4w 4w Cuando, por ejemplo, suben los salarios, P cae porque tenemos una cierta cantidad de gente contratada. Es más, por cada suba de $1 en los salarios, los bene…cios caen en l (eso es la derivada directa de f (l) wl con respecto a w) pues hay que pagarle $1 adicionales a cada trabajador, y eso da $l.Pero a este efecto se suma el hecho que la cantidad óptima de trabajadores cambia al subir el salario, y este cambio en la cantidad de gente contratada también afecta los bene…cios. El Teorema de la Envolvente nos dice que este segundo efecto no es relevante. Entonces, el cambio en los bene…cios es l evaluado en el óptimo, 1=4w2 : Si derivamos P (w) con respecto a w vemos que eso es correcto. Parahacerlo aún más concreto, imaginemos que originalmente los sueldos son $1: Entonces, los bene…cios p son l l

P

0.3

0.2

0.1

0.0 0.0 0.5 1.0

Cuando los salarios cambian un poco, la …rma tiene que pagarle un poco más a cada uno de sus trabajadores (1/4 en este caso) cambiará un poco el número óptimo de trabajadores, cambiando (en principio) los bene…cios. Pero como los bene…cios son...