Teoria De La Probabilidad

TEORIA DE LA PROBABILIDAD.

Definición. Probabilidad, es el estudio de experimentos aleatorios o libres de determinación.

Si un evento puede suceder de “n” maneras diferentes de un total de “S” casos igualmente posibles entonces la probabilidad esta dada por la siguiente expresión.

P (A) = n
S
n = numero de casos favorables.
S = numero de casos totales.

Porejemplo al lanzar un dado común, puede salir un numero par de 3 maneras diferentes de un total de 6 resultados igualmente posibles.

P (A) = 3/6 = ½ de posibilidad de que salga un par.

El conjunto “S” de todos los resultados posibles de un experimento dado se le llama espacio muestral.

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Todos los resultados posibles.

Un resultado en particular, estoes un elemento de “S”, se le llama punto muestral. Un evento “A” es un conjunto de resultados o en otras palabras es un subconjunto del espacio muestral “S” y normalmente se define por el método de comprensión para después definirlo por el método de enumeración.

A = { x/x es un numero par al lanzar un dado }
A = { Un numero par al lanzar un dado } Forma simplificada
A = { 2, 4, 6 }Espacio reducido de A ( Todos los elementos que contiene solo el
conjunto A )

El evento [a] que consta de una muestra simple y que además a S, se llama evento elemental. El y “S” de por si son eventos; al algunas veces se le denomina el evento imposible y al conjunto “S” se le denomina el evento cierto o seguro.

Podemos combinar eventos para formar nuevos eventos.* A B es el evento que sucede A ó B o ambos suceden.
* A B es el evento que sucede A y B suceden simultáneamente.
* Ac es el evento que sucede A no sucede.

Dos eventos A y B son llamados mutuamente exclusivos si son disyuntos A B = , ya que no pueden suceder simultáneamente.

Ejemplo: Láncese un dado y obsérvese el numero que aparece en la cara superior; su espacio muestral esS = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, observamos que el espacio muestral consiste en los 6 números posibles; sea el evento A de salir un numero par y sea el evento B de salir un numero impar, sea el evento C de salir un numero primo. Calcular AB, AC, Cc, AB y diga como son A y B y porque.
A = { un numero par } = { 2, 4, 6 }
B = { un numero impar } = { 1, 3, 5 }
C = { un numero primo } = { 2, 3, 5 }

AB = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } = S
A C = { 2 }
Cc = { 1, 4, 6 }
A B = , A y B son eventos mutuamente exclusivos.

Axiomas de Probabilidad.

1. Para todo evento A:
0 P (A) 1

2. La probabilidad del espacio muestral es:
P (S) = 1

3. Si A y B son mutuamente exclusivos
P (A B) = P (A) + P (B)

4. Si A1,A2,.......,An son una serie de eventos mutuamente exclusivos
P(A1,A2,.......,An) = P (A) + P (B) + ........ P (n).

Teoremas de Probabilidad.

1. Si es el conjunto vacío
P () = 0

2. Si Ac es el complemento de un evento A
P (Ac) = 1 – P (A)

3. Si A B P (A) P (B)

4. Si A y B son 2 eventos
P (A-B) = P(A) – P(A B)

5. Si A y B son 2 eventos
P (A B) = P (A) + P (B) – P (A B)
PROBABILIDAD CLASICA.

Sea S un espaciomuestral {a1,a2,a3,....,an}, un espacio finito de probabilidad se obtiene al asignar a cada punto de ai, el evento de S, un numero real pi, llamado de probabilidad y que satisface las siguientes propiedades.

1.- Cada Pi es no negativo. Pi 0

2.- La suma de las Pi. P1 + P2 +..... Pn = 1

Por lo que la probabilidad se define como:

P (A) = numero de elementos de A ó
numerode elementos de S

P (A) = numero de maneras en que el evento de A puede suceder. ó
numero de maneras en que el espacio muestral puede suceder.

P (A) = Casos favorables.
Casos totales.

Ejemplos:

1. Láncese 3 monedas y observe el numero de águilas que resulten:
A) Defina el espacio muestral, obtenga el espacio de probabilidad para cada punto del espacio...