Teoria de la relatividad para enseñar

Composición de funciones.

Bajo ciertas condiciones es posible definir, a partir de dos funciones f y g, una nueva función denotada por [pic] y está definida por [pic], o sea una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones.

[pic]

gof, es la aplicación resultante de la aplicación sucesiva de f y de g. En el ejemplo, (g o f)(a)=@.

[pic]Formalmente, dadas dos funciones [pic] y [pic], donde el rango de f está contenido en el dominio de g, se define la función composición [pic] para todos los elementos x de X.

[pic]

[pic]

A g ο f se le llama f compuesta en g. Nótese que se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.

Ejemplo

Sean lasfunciones [pic] y [pic]

La función compuesta de g y de f que expresamos:

[pic]

La interpretación de (f o g) aplicada a la variable x significa que primero tenemos que aplicar g a x, con lo que obtendríamos un valor de paso

[pic]

y después aplicamos f a z para obtener

[pic]

Función bien definida
La función compuesta está bien definida, pues cumple con lasdos condiciones de existencia y unicidad, propias de toda función:
1. Condición de existencia: dado x, conocemos (x, f(x)), puesto que conocemos la función f, y dado cualquier elemento y de B conocemos también (y, g(y), puesto que conocemos la función g. Por tanto, (x, g( f(x)) ) está definido para todo x, y así (g ο f) cumple la condición de existencia.
2. Condición de unicidad: como f yg son funciones bien definidas, para cada x el valor de f(x) es único, y para cada f(x) también lo es el de g( f(x)).
Propiedades

• La composición de funciones es asociativa, es decir: [pic]

• La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir:

[pic]

Por ejemplo, dadas las funciones numéricas f(x)=x+1 y g(x)=x², entonces f(g(x))=x²+1, en tantoque g(f(x))=(x+1)².

• La inversa de la composición de dos funciones es: [pic]

Límite de una función compuesta

Si [pic]y si la función f es continua en b, entonces [pic] o, equivalentemente [pic]

Continuidad de una función compuesta

Si la función g es continua en a y la función f es continua en g(a) entonces la función compuesta f o g es continua en a.

Derivada deuna función compuesta y regla de la cadena

Para calcular la derivada de una función compuesta se aplica la regla de la cadena, uno de los teoremas más importantes en el Cálculo.

Si la función g es diferenciable en x y la función f es diferenciable en g(x), entonces la función compuesta f o g es diferenciable en x, y [pic]

1) Calcular la derivada de la función [pic]

Lafunción [pic]es una función compuesta de otras dos [pic] y [pic]

En efecto [pic]

Al ser [pic], por tanto [pic]

[pic]

O por la regla de la cadena

[pic]

2) Derivar la función [pic]
H(x) es una función compuesta de [pic] y [pic]
(Se ha de suponer que [pic] porque para este valor la función no está definida)
[pic]
De [pic]se deduce [pic]. En consecuencia[pic]
Por otro lado, [pic]
Por la regla de la cadena [pic]
Algebra de funciones
Dadas las funciones f y g de variable real, se definen las siguientes operaciones entre ellas:
• Suma algebraica: [pic]
• Producto: [pic]
• Cociente: [pic], con [pic]
El dominio de la suma algebraica y el producto es la intersección entre Df y Dg.
El dominio delcociente es la intersección de los dominios de f y g sin los valores de la variable independiente para los cuales g(x)=0.
Ejemplo de gráfica de funciones

|[pic] | |
| | |
|...