teoria de las matematicas

En matemáticas, una teoría es un conjunto de proposiciones cerradas bajo implicación y deducción lógica, es decir, si «P» y «P implica Q» son proposiciones de una teoría entoncestambién Q debe ser una proposición de esa teoría, ya que es deducible de las anteriores.
En lógica matemática, "teoría" es el término usado para un conjunto de fórmulas de ciertos axiomas ytodos los teoremas comprobables a partir de éstos. Más exactamente si se considera un objeto matemático o una clase de objetos matemáticos , una teoría de  denotada como  es un conjuntode fórmulas de primer orden (proposiciones del lenguaje de la teoría) sobre  que son verdaderas. Un conjunto de axiomas para una teoría es un subconjunto de enunciados tal que a partir deellos y de ciertas reglas lógicas de deducción puede demostrarse cualquier encunciado dentro de la teoría. Obviamente el propio conjunto  constituye una axiomatización trivial y pocointeresante de . Una axiomatización interesante debe identificar algunas pocas proposiciones o axiomas básicos que pueden permitan deducir la teoría completa:
Una teoría T se dice quees recursivamente axiomatizable si existe ostra teoría T' recursiva tal que los teoremas de T' sean los mismos que los de T.
Una teoría T se dice finitamente axiomatizable si existe unateoría T' con una cantidad finita de axiomas tal que los teoremas de T' y los de T sean los mismos.
El teorema de incompletitud de Gödel establece que ninguna teoría consistente, con unnúmero finito de axiomas recursivamente enumerable (en un lenguaje por lo menos tan potente como laaritmética), puede incluir todos las proposiciones verdaderas. Sin embargo, la aritméticaes una teoría completable añadiendo un conjunto de aximas infinito y no recursivo. En otras palabras el teorema de Gödel sólo establece que si  es un tipo de teoría aritmética: