Teoria De Limite

TEORIA DE LÍMITES
Se dice que una función y=f(x) tiene límite "l" cuando la x tiende a "a" y lo representamos por:

Cuando para toda sucesión de números reales que se aproxime a "a" tanto como queramos, los valores correspondientes de f(x) se aproximan a "l" tanto como queramos. ("tanto como queramos" es una expresión que nos indica que la aproximación será tanto mayor cuantos más elementostomemos de la sucesión).
Ejemplo 1:
Consideremos la función  y tratemos de calcular su límite cuando x tiende a 2. Tomamos la sucesión an = {1-1,9-1,99-1,999-1,9999-....} y veamos a qué valor se aproxima f(an), para ello construimos la siguiente tabla:
an | 1 | 1,9 | 1,99 | 1,999 | 1,9999 | 1,99999 | 1,999999 | ..... | 2 |
f(an) | -2 | -29 | -299 | -2999 | -29999 | -299999 | -2999999 | ..... ||
Parece que los valores de la función se aproximan, tanto como  queramos a menos infinito, pero nos  preguntamos ¿Qué ocurriría si la sucesión elegida fuese decreciente, en lugar de creciente, veámoslo:
an | 3 | 2,1 | 2,01 | 2,001 | 2,0001 | 2,00001 | 2.000001 | .... | 2 |
f(an) | 4 | 31 | 301 | 3001 | 30001 | 300001 | 3000001 | .... | |
 Ahora los valores se aproximan a más infinito. Es decir, si la sucesión tiende a 2 pero conservándose todos sus términos menores que 2, la función tiende a un límite y si los valores de la sucesión se conservan todos mayores que dos la función tiende a otro distinto. Afirmamos que no existe límite en el punto 2 para la función dada.
Ejemplo 2
Calcular el límite
Vamos a proceder como antes con una sucesión creciente y otra decreciente que seaproximen ambas a 3 tanto como queramos:
an | 2,1 | 2,9 | 2,99 | 2,999 | 2,9999 | 2,99999 | 2,999999 | .... | 3 |
f(an) | 31 | 4,3333 | 4,0303 | 4,0030 | 4,0003 | 4,00003 | 4,000003 | .... | 4 |
 Y para una decreciente:
an | 4 | 3,1 | 3,01 | 3,001 | 3,0001 | 3,00001 | 3,000001 | .... | 3 |
f(an) | 2,5 | 3,7272 | 3,9703 | 3,9970 | 3,9997 | 3,99997 | 3,999997 | .... | 4 |
Como los valoresque toma la función para ambas sucesiones tienden al mismo valor 4, podemos escribir:

De los dos ejemplos anteriores obtenemos las siguientes conclusiones:
¨      ¨        Se llama límite lateral por la izquierda de f(x) cuando x tiende a "a" al valor al que se aproximan los valores de f(an) cuando los valores de an se aproximan a "a" tanto como queramos pero manteniéndose menores que "a"(sucesión creciente). Escribimos entonces:

¨      ¨        Se llama límite lateral por la derecha de f(x) cuando x tiende a "a" al valor al que se aproximan los valores de f(an) cuando los valores de an se aproximan a "a" tanto como queramos pero manteniéndose mayores que "a" (sucesión decreciente). Escribimos:

Teorema: El límite de una función si existe es único y únicamente si li = ld, esdecir, si ambos límites laterales coinciden.
   Concepto de límite. Casos de indeterminación.
En el punto segundo de este capítulo hemos definido el límite de f(x) cuando x tiende a "a" por medio de sucesiones. Esta definición aunque muy comprensible desde el punto de vista intuitivo, nos obligaría a comprobar todas las sucesiones que se aproximan a "a" (o al menos muchas de ellas) y ver haciaquién tiende f(an). El cálculo pude ser engorroso y la definición poco rigurosa si sólo comprobamos una ó dos como de hecho hemos hecho allí.
Una definición más rigurosa sería:
"Se dice que f(x) tiene por límite l cuando x tiende a "a" y se escribe , si para todo número real , positivo y suficientemente pequeño, es posible determinar otro número real , que depende de , tal que si se cumple , entoncesse ha de cumplir que ".
La definición anterior equivale a decir que para todo entorno de "l"  existe otro de “a”  en el cual todo punto de este entorno menos “a” por medio de la función va a  el entorno
Gráficamente:
Ejemplo:
Demostrar que
Consideremos un, hemos de encontrar un  que verifique:

Entonces:

Y despejando x:

Restando 2 a los tres miembros:

Basta pues tomar:...