Teoria De Limites

Universidad Metropolitana
Dpto. de Matemáticas Para Ingeniería
Cálculo I (FBMI01)

Semestre 08 – 09A

PRÁCTICA 6

Contenidos

Secciones 2.3 y 2.5 del libro texto:
Cálculo de límites.
Continuidad.
Teorema del valor intermedio.

Ejercicios

1. Calcula los siguientes límites:

1⎞
⎛
a) lim ⎜ 2 x 3 − x 2 + ⎟
2⎠
x →3 ⎝

d) lim

x→4

g) lim

x →0

4x − x 2
2− x
x
xb) lim

x →3

e) xlim+
→2

x2 −9
x 2 − 3x
x2 − 4

lim

x →1

x+2
x+2

x 3 − 8 x 2 + 20 x − 16

x→2

f) lim

x−2

h) lim (x + 3)
−
x →− 2

c)

i) lim

x →0

x 3 − 3x 2 + 4

x 3 −1
x4 −1

x −1 − x −1
x −1

1

Ejercicios tomados del Problemario Cálculo Diferencial e Integral por publicar

j) lim

x→0

x

k) lim

1
1
−
2 2+ x

⎡
⎤
⎢ x2⎥
l) lim ⎢
+ 2⎥
x
x →0 ⎢ x
⎥
−
⎢ 2 2+ x
⎥
⎣
⎦

− x2 + 9
x2 + 7 − 4

x→ 3

Reflexiona

¿Por qué se escribe lim

x→ a

( x − a ) f ( x) =
x−a

lim f ( x) y no se indica la restricción cuando se

x→ a

simplifica por (x − a ) ?
Antes de proceder a realizar cualquier operación para calcular un límite, ¿qué se debe
verificar?

2. Calcula los siguientes límites:

a) limx→ −2

[ 2x

2

−x

]

b) lim
x→ −

1
2

[ 3x

2

− 3x

]

x+5

lim

c)

x+5

x→ − 5

3. Calcula los siguientes límites:
a) lim+
x→ b

x−b

b) lim−

x−b

x→ b

x−b

x−b

c) lim

x−b

x−b

x→ b

4. Calcula los siguientes límites:
a) lim
+
x →3

e) lim
+
x →3

5x
9− x

2

x2 −9
x−3

b) lim
−
x →3

f) lim
x→

1
35x
9− x

c)

2

x → ( −3)

3x 2 + 5 x − 2

(1 − 3x )

lim

2

g) lim−
x →1

5x
−

9− x

(3x

2

d)

2

lim

x → ( −3)

5x
+

9 − x2

)

− 2 x − 1 (x − 1)2

(x − 1)4

2

Ejercicios tomados del Problemario Cálculo Diferencial e Integral por publicar

5. Con base en los resultados en la pregunta anterior indica las asíntotas verticales de lasgráficas de las funciones siguientes.
a) f ( x ) =

5x
9− x

2

b) g ( x) =

6. ¿Tiene sentido estudiar lim
−
x→4

x2 −9
x−3
x−4
x−2

c) h ( x )

3x 2 + 5 x − 2

(1 − 3x )

2

d) t ( x) =

(3x

2

)

− 2 x − 1 (x − 1)2

(x − 1)4

?

7. ¿Es la función real de variable real f definida por
x = −3 ?

8. ¿Es la función real de variable real f definida por

⎧2x − 4 si x ≥ −3
continua en
f ( x) = ⎨
⎩ 3 x − 1 si x < −3

⎧ 36 − x 2
⎪
f ( x) = ⎨ x − 6
⎪12
⎩

si

x≠6

si

x=6

continua en

x = 6?

9. ¿Es la función real de variable real f definida por

⎧1
si x ≠ 0
⎪−
continua en x = 0 ?
f ( x) = ⎨ x 4
⎪ 0 si x = 0
⎩

10. Estudia la continuidad de la función real de variable real definida por
⎧1 − x 2 si x < 0
⎪
f ( x ) =⎨1 si 0 < x < 2
⎪ 3 + x si 2 ≤ x
⎩

Reflexiona

¿Cómo se estudia la continuidad de una función f en un valor a?
¿Cómo se estudia la continuidad en todo su dominio de una función definida a trozos?

3

Ejercicios tomados del Problemario Cálculo Diferencial e Integral por publicar

⎧ 2 x 2 − 4 si x ≤ − 2
⎪
11. Dada la función real de variable real definida como f ( x ) = ⎨ax + b si - 2< x ≤ 1 , donde a y
⎪ x 3 + 4 x si x > 1
⎩
b son constantes, halla los valores de a y b para que f sea continua en todo R.

12. a) Enuncia el teorema del valor intermedio.
b) Escribe las hipótesis del teorema del valor intermedio.
c) Escribe la tesis del teorema del valor intermedio.
13. Demuestra que la ecuación x 5 − 3 x 4 − 2 x 3 − x + 2 = 0 tiene una solución real entre 0 y 1.

1
⎡π⎤
14. Demuestra que existe un número real z ∈ ⎢0 , ⎥ tal que sen ( z ) = .
6
2⎦
⎣

15. Demuestra que la ecuación x 4 − x 3 + x 2 − 3x − 2 = 0 tiene dos raíces reales.

16. Realiza los ejercicios 31 y 48 de las páginas 110 -111 del libro texto

17. Realiza el ejercicio 38 de la página 132 del libro texto

4

Ejercicios tomados del Problemario Cálculo Diferencial e Integral...