Teoria de los conjuntos

Teoría de Conjuntos
La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos. Los conjuntos son colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas, y son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.
Más aún, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetosy estructuras de interés en matemáticas:números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática. La propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particularlas propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos.
En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, los razonamientos y técnicas de la teoría de conjuntos se apoyan en gran medida en la lógica matemática.
El desarrollo histórico de la teoría deconjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas "puras" en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XXTeoría de Conjuntos
 
NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO
Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.
Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a  A. 
En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a A. 
 
Ejemplos de conjuntos: 
 
*  : el conjunto vacío, quecarece de elementos.
* N: el conjunto de los números naturales.
* Z: el conjunto de los números enteros.
* Q : el conjunto de los números racionales.
* R: el conjunto de los números reales.
* C: el conjunto de los números complejos.
  
Se puede definir un conjunto:
* por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.
* por comprensión,diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.
  
Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión, 
o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:
* A := {1,2,3, ... ,n}
* B := {p Z | p es par}
  
Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B), 
yse denota A  B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a  A  a  B.
Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A  B y B  A; 
esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).
Para cualquier conjunto A se verifica que  A y A  A; 
B  A es un subconjunto propio de A si A   y B  A.
Elconjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota  (A). 
Entonces, la relación B  A es equivalente a decir B   (A). Ejemplos: 
 
Si A = {a,b} entonces  (A) = { ,{a},{b},A}.
Si a  A entonces {a}  (A).

Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U, 
se suele considerar a dicho U como conjuntouniversal o de referencia.
-------------------------------------------------
Operaciones con conjuntos
Artículo principal: Álgebra de conjuntos
Existen varias operaciones que pueden realizarse para, partiendo de ciertos conjuntos dados, obtener nuevos conjuntos.

Unión de conjuntos. Unión de A y B.
Unión
Artículo principal: Unión de conjuntos
Dos conjuntos pueden "sumarse". Dados A y B,...