teoria de medida
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Publicado: 5 de diciembre de 2014
La teoría de la medida es una rama del análisis real que investiga las σ-álgebras, las medidas, funciones medibles e integrales. Es de importancia central en probabilidad y en estadística.
Enmatemática, una medida es una función que asigna un número real positivo o cero, interpretable como un "intervalo", un "área", un "volumen", o una "probabilidad", a los subconjuntos de un conjunto dado.El concepto es importante para el análisis matemático, la geometría y para la teoría de la probabilidad.
A menudo, el ambicioso objetivo de asignar una medida a todo subconjunto del conjunto base serevela inalcanzable. Solo será posible, o interesante en algunos casos, asignar medida a ciertas familias de subconjuntos, a los que llamaremos medibles. Las condiciones de consistencia que debencumplir los miembros de estas familias quedan encapsuladas en el concepto auxiliar de σ-álgebra.
Definiciones formales[editar]
Formalmente, una medida μ es una función definida en una σ-álgebra Σ sobreun conjunto X con valores en el intervalo real extendido [0, ∞], que verifica:
La medida del conjunto vacío es cero: μ( \varnothing \, ) = 0.
Si E1, E2, E3, ... una sucesión contable de conjuntosdisjuntos dos a dos de la σ-álgebra Σ y E es su unión, entonces μ(E) es igual a la suma de las medidas de los Ek; esto es,
\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i).La terna (X, Σ, μ) se denomina espacio de medida, y los elementos de Σ se denominan conjuntos medibles.
Propiedades[editar]
Varias propiedades pueden deducirse directamente de la definición.Monotonía[editar]
μ es monótona: si E_1 y E_2 son dos conjunto medibles, con E_1\subseteq E_2, entonces \mu(E_1) \leq \mu(E_2).
Uniones contables[editar]
Si E1, E2, E3, ... es una sucesión contablede conjuntos medibles, su unión será también medible (por la definición de σ-álgebra), y
\mu\left( \bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) \le \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i).
Si se tiene además que En ⊆...
Enmatemática, una medida es una función que asigna un número real positivo o cero, interpretable como un "intervalo", un "área", un "volumen", o una "probabilidad", a los subconjuntos de un conjunto dado.El concepto es importante para el análisis matemático, la geometría y para la teoría de la probabilidad.
A menudo, el ambicioso objetivo de asignar una medida a todo subconjunto del conjunto base serevela inalcanzable. Solo será posible, o interesante en algunos casos, asignar medida a ciertas familias de subconjuntos, a los que llamaremos medibles. Las condiciones de consistencia que debencumplir los miembros de estas familias quedan encapsuladas en el concepto auxiliar de σ-álgebra.
Definiciones formales[editar]
Formalmente, una medida μ es una función definida en una σ-álgebra Σ sobreun conjunto X con valores en el intervalo real extendido [0, ∞], que verifica:
La medida del conjunto vacío es cero: μ( \varnothing \, ) = 0.
Si E1, E2, E3, ... una sucesión contable de conjuntosdisjuntos dos a dos de la σ-álgebra Σ y E es su unión, entonces μ(E) es igual a la suma de las medidas de los Ek; esto es,
\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i).La terna (X, Σ, μ) se denomina espacio de medida, y los elementos de Σ se denominan conjuntos medibles.
Propiedades[editar]
Varias propiedades pueden deducirse directamente de la definición.Monotonía[editar]
μ es monótona: si E_1 y E_2 son dos conjunto medibles, con E_1\subseteq E_2, entonces \mu(E_1) \leq \mu(E_2).
Uniones contables[editar]
Si E1, E2, E3, ... es una sucesión contablede conjuntos medibles, su unión será también medible (por la definición de σ-álgebra), y
\mu\left( \bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) \le \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i).
Si se tiene además que En ⊆...
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