Teoria de numeros: funciones

Principales funciones en teoría de números
1.- En matemática, las funciones de parte entera son aquellas funciones:

que toman un número real y devuelven un número entero mayor o menor a ese número. Las funciones más conocidas son la función piso y la función techo.
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La función piso se aplica a un número real x y devuelve el máximo número entero k no superior a x:

Que se puedeexpresar:

Propiedades
El número real x al que se aplica la función piso es un número entero si y sólo si la función piso de x tiene el mismo valor que x.

Ejemplos
Para un número real no entero:

Para un número entero:

La función techo se aplica a un número real x y devuelve el mínimo número entero k no inferior a x:

O de otra forma:

Propiedades
* Para cualquier número real secumple que .
* El número real x al que se aplica la función techo es un número entero si y sólo si la función techo de x tiene el mismo valor que x.

* La función techo tiene puntos de discontinuidad en los números enteros pero es diferenciable para el resto de puntos.
* La función techo puede expresarse como integral mediante la delta de Dirac y la función característica del conjunto delos enteros:

Ejemplos
Para un número real no entero:

Para un número entero:

**Función parte entera
La función parte entera de x hace corresponder a cada número real el número entero inmediatamente inferior.
f(x) = E (x)
x | 0 | 0.5 | 0.9 | 1 | 1.5 | 1.9 | 2 |
f(x) = E(x) | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |

f(x) = x - E (x)
x | 0 | 0.5 | 0.9 | 1 | 1.5 | 1.9 | 2 |
f(x) = x - E(x)| 0 | 0.5 | 0.9 | 0 | 0.5 | 0.9 | 0 |

3.- En teoría de números, una función discreta (es decir, definida para n entero) se dice multiplicativa si
f(1) = 1
f(m·n) = f(m)·f(n) cuando m y n son enteros coprimos (no tienen factores comunes).
Una función multiplicativa queda determinada si se conoce el valor que toma para los números primos.
Entre las funciones multiplicativas están lasfunciones completamente multiplicativas que son las que también cumplen que f(m·n) = f(m)·f(n) cuando m y n no son coprimos entre sí.
Utilizando las funciones multiplicativas como coeficientes de desarrollo de series de Dirichlet se obtienen funciones complejas cuyo estudio aporta información relevante acerca de la distribución de los números. Un ejemplo de ello son las relaciones de las funcionesaritméticas más clásicas con la función Zeta de Riemann.
*Ejemplos
Algunos ejemplos de funciones multiplicativas que son relevantes en la teoría de números son:
* φ(n): la función φ de Euler, que cuenta los enteros positivos coprimos con n.
* μ(n): la función de Möbius, relacionada con el número de factores primos de los números no divisibles por un cuadrado perfecto.
* d(n): el número dedivisores positivos de n.
* σ(n): la suma de todos los divisores positivos de n.
* La función que calcula suma de todas las potencias de orden k de los divisores positivos de n (la función σ es el caso con k=1 y la función d el caso con k=0).
* Si representamos por f(n) a la función que cuenta la cantidad de distintas parejas de enteros (a,b) tales que n=a*a+b*b, entonces la funciónf(n)/4 es una función multiplicativa.
* Es múltiplicativa la función que se obtiene como producto de Dirichlet de dos funciones multiplicativas.
A partir de cualquier función aditiva f(n) es fácil crear una función multiplicativa relacionada g(n), utilizando la propiedad de que cuando a y b son coprimos se cumple lo siguiente: g(ab) = g(a) × g(b).
Un ejemplo es la función g(n) =2f(n) − f(1).

4.- M(n) (Función de Möbius)
Se define para todos los números naturales según sean múltiplos o no de números cuadrados. A cada uno se le hace corresponder uno de los valores -1, 0 o +1,de la siguiente forma:
M(n)= 1 si n no es múltiplo de cuadrados y tiene un número par de factores primos distintos
M(n)=-1 si n no es múltiplo de cuadrados y tiene un número impar de factores...