Teoria de numeros y conjuntos

´ Indice general
0. El principio de inducci´n o 0.1. Revisi´n de los n´meros naturales . o u 0.2. Principio de inducci´n . . . . . . . . o 0.3. Principio de inducci´n ‘completa’ . . o 0.4. Principio de inducci´n ‘desplazada’ . o 0.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . ´ 0.6. APENDICE: Definiciones recursivas. 1 1 2 6 7 7 9

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . .. . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

1. Conjuntos 1.1. Conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Idea intuitiva de conjunto: pertenencia. Igualdad e inclusi´n entre conjuntos. o Conjunto potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Operaciones con conjuntos: uni´n, intersecci´n, complemento. . . . . . . . o o 1.2. Pares ordenados. Producto cartesiano de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Correspondencias y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Comentarios previos: Ideas intuitivas y ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Aplicaciones: dominio, codominio, gr´fica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.3.3. Imagen y antiimagen de un conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4. Aplicaciones inyectivas,suprayectivas, biyectivas. . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5. M´s sobre familias de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.3.6. Composici´n de aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.3.7. Inversa de una aplicaci´n biyectiva. Inyectividad e inversa parcial. . . . . . o 1.4. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1.4.1. Relaciones de equivalencia y particiones. Conjunto cociente. . . . . . . . . . 1.4.2. Relaciones de orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Conjuntos finitos y numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Conjuntos finitos y numerables. Conjuntos equipotentes. . . . . . . . . . . . ´ 1.5.2. APENDICE: Un m´ ınimo decombinatoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. N´ meros naturales y enteros u 2.1. N´meros naturales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 2.1.1. Lectura preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Los axiomas de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. El principio de buena ordenaci´n. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.2. N´meros enteros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 2.2.1. Necesidad de los enteros. Propiedades de Z. Idea de anillo. . . . . . . . 2.2.2. Divisi´n entera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.2.3. Representaci´n decimal y binaria. Bases de numeraci´n . . . . . . . . . o o 2.2.4. M´ximocom´n divisor. Algoritmo de Euclides. . . . . . . . . . . . . . . a u 2.2.5. N´meros primos y factorizaci´n. Teorema fundamental de la Aritm´tica. u o e 2.2.6. Congruencias. Aritm´tica modular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e i

13 . 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 16 19 20 20 22 23 24 25 26 27 32 32 35 38 38 40 49 49 49 50 52 52 52 55 57 62 71 75

. . . . . . . . . . .

.. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

ii 3. N´ meros racionales. Polinomios. u 3.1. N´meros racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 3.1.1. Insuficiencia de Z. Fracciones. . . . . . . . . . . 3.1.2. Construcci´n de Q . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.2. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Definiciones. Suma y producto de polinomios. . 3.2.2....