Teoria de numeros

1. Demostrar que para todo número natural diferente de cero es de la forma n+ para algún n є N.
Demostración:
Como n є N entonces:n+ є N por el Axioma 2
n+ ≠ 0 por el Axioma 3
Tomemos n+ = m, ∀m є N, entonces m+ є N por Axioma 2 y m+ ≠ 0 por Axioma 3.Ahora tomemos m+ = p, ∀p є N, entonces p+ є N por Axioma 2 y p+ ≠ 0 por Axioma 3.
De manera que p+ = (m+)+ = [(n+)+]+ Y así se cumple que ∀n ≠ 0 є N es de la forma n+.

2). Demostrarque para todo n є N, n+ = n + 0+.
Demostración:
Sea
J = { n є N ⁄ n+ = n + 0+}
1) 0 є J, en efecto

0+ =0+ + 0 (Def. de suma)
= (0 + 0)+ (Lema1.4)
= 0 + 0+ (Def. de suma)

2) Supongamos que n є P,
Entonces(n+)+ = (n+ + 0)+ (Def. de suma)
= n+ + 0+ (Def. de suma)

Luego n+ є P y, por Axioma 5, P = N

3). Si m y n son números naturales talesque m+n = 0, probar que m = 0 y n = 0.

Demostración:
Sea:

J = {m є N ⁄ m + n = 0 entonces m = 0 y n = 0, para todo n є N}1) 0 є J, en efecto

0+ n = 0 → n = 0. (Def. de suma)

2) Supongamos que m єJ.
Entonces ∀ n є N
m+ + n = (m + n)+ (Lema1.4)
= 0+ (Hipótesis deinducción)

Entonces para que m+ + n = 0+ obligatoriamente m = 0 y n = 0
Ya que así: 0+ + 0 = 0+ → 0+ = 0+ (Def. de suma)

Luego m+ є J,y por A-5, J = N

4). Demostrar que si m, n єN entonces m + n є N y m,n є N.

Demostración:
Sea D= {n є N ⁄ m + n є N y mn є N, ∀m є N}

1) 0 є D. ∀m є N.
1.1)

m + 0 = m (Def. de...