Teoria de Numeros

Páginas: 547 (136548 palabras) Publicado: 29 de enero de 2015
Carlos Ivorra Castillo

´
TEOR´IA DE NUMEROS

La aritm´etica superior nos proporciona un conjunto inagotable de verdades interesantes — de verdades que adem´as no est´an aisladas, sino en estrecha
relaci´on unas con otras, y entre las cuales, con cada
sucesivo avance de la ciencia, descubrimos nuevos y,
a veces, completamente inesperados puntos de contacto.
C.F.Gauss

´IndiceGeneral
Prefacio

ix

Cap´ıtulo I: Introducci´
on a la teor´ıa algebraica
1.1 Ternas pitag´
oricas . . . . . . . . . . . . . .
´
1.2 El Ultimo
Teorema de Fermat . . . . . . . .
1.3 Factorizaci´
on u
´nica . . . . . . . . . . . . . .
1.4 La ley de reciprocidad cuadr´
atica . . . . . .
1.5 El teorema de Dirichlet . . . . . . . . . . .
1.6 Ecuaciones diof´
anticas . . . . . . . . . . ..
1.7 Ecuaciones definidas por formas . . . . . . .
1.8 Conclusi´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . .

de
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n´
umeros
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1
3
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8
11
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Cap´ıtulo II: Cuerpos num´
ericos
2.1 Enteros algebraicos . . . . . . .
2.2 Discriminantes . . . . . . . . .
2.3 M´
odulos y o´rdenes . . . . . . .
2.4 Determinaci´
on de bases enteras
2.5 Normas e ´Indices . . . . . . . .

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Cap´ıtulo III: Factorizaci´
on ideal
3.1 Dominios de Dedekind . . . . . . . . . . . .
3.2 Divisibilidad ideal en o´rdenes num´ericos . .
3.3 Ejemplos de factorizaciones ideales . . . . .
3.4 La funci´
on de Euler generalizada . . . . . .
3.5 Factorizaci´
on ideal en o´rdenes no maximales
3.6 Elproblema de la factorizaci´
on u
´nica real .

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Cap´ıtulo IV: M´
etodos geom´
etricos
4.1 La representaci´on geom´etrica . . .. . . . . . .
4.2 Ret´ıculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 El teorema de Minkowski . . . . . . . . . . . .
4.4 El grupo de clases . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 La representaci´on logar´ıtmica . . . . . . . . . .
4.6 C´
alculo de sistemas fundamentales de unidades
4.7 C´
alculo del n´
umero de clases . . . . . . . . . .

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´INDICE GENERAL

vi
Cap´ıtulo V: Fracciones continuas
5.1 Propiedades b´asicas . . . . . . . . . .
5.2 Desarrollos de irracionales cuadr´
aticos
5.3 Transformaciones modulares . . . . . .
5.4 Unidades de cuerpos cuadr´
aticos . . .
5.5 La fracci´
on continua de e . . . . . . .

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Cap´ıtulo VI: Cuerpos cuadr´
aticos
6.1 Formas cuadr´
aticas binarias . . . .
6.2 Equivalencia y similitud estricta .
6.3 Grupos de clases . . . . . . . . . .
6.4 Ecuaciones diof´
anticas cuadr´
aticas
6.5 C´
alculo de grupos de clases . . . .

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