TEORIA DE PEQUEÑAS MUESTRAS O TEORIA EXACTA DEL MUESTREO

UNIDAD III
TEORIA DE PEQUEÑAS MUESTRAS O TEORIA EXACTA DEL MUESTREO
En las unidades anteriores se manejó el uso de la distribución z, la cual se podía utilizar siempre y cuando los tamaños de las muestras fueran mayores o iguales a 30 ó en muestras más pequeñas si la distribución o las distribuciones de donde proviene la muestra o las muestras son normales.
En esta unidad se podrán utilizarmuestras pequeñas siempre y cuando la distribución de donde proviene la muestra tenga un comportamiento normal. Esta es una condición para utilizar las tres distribuciones que se manejarán en esta unidad; t de student, X2 ji-cuadrada y Fisher.
A la teoría de pequeñas muestras también se le llama teoría exacta del muestreo, ya que también la podemos utilizar con muestras aleatorias de tamañogrande.
En esta unidad se verá un nuevo concepto necesario para poder utilizar a las tres distribuciones mencionadas. Este concepto es "grados de libertad".
Para definir grados de libertad se hará referencia a la varianza muestral:

Esta fórmula está basada en n-1 grados de libertad (degrees of freedom). Esta terminología resulta del hecho de que si bien s2 está basada en n cantidades   . . .,  éstas suman cero, así que especificar los valores de cualquier n-1 de las cantidades determina el valor restante. Por ejemplo, si n=4 y
;  y , entonces automáticamente tenemos , así que sólo tres de los cuatro valores de  están libremente determinamos 3 grados de libertad.
Entonces, en esta unidad la fórmula de grados de libertad será n-1 y su simbología 
DISTRIBUCION "t DE STUDENT"
Supóngase que setoma una muestra de una población normal con media  y varianza Si es el promedio de las n observaciones que contiene la muestra aleatoria, entonces la distribución  es una distribución normal estándar. Supóngase que la varianza de la población es desconocida. ¿Qué sucede con la distribución de esta estadística si se reemplaza  por s? La distribución t proporciona la respuesta a esta pregunta.La media y la varianza de la distribución t son  y  para >2, respectivamente.
La siguiente figura presenta la gráfica de varias distribuciones t. La apariencia general de la distribución t es similar a la de la distribución normal estándar: ambas son simétricas y unimodales, y el valor máximo de la ordenada se alcanza en la media  Sin embargo, la distribución t tiene colas más ampliasque la normal; esto es, la probabilidad de las colas es mayor que en la distribución normal. A medida que el número de grados de libertad tiende a infinito, la forma límite de la distribución t es la distribución normal estándar.

 
Propiedades de las distribuciones t
1. Cada curva t tiene forma de campana con centro en 0.
2. Cada curva t, está más dispersa que la curva normal estándar z.
3.A medida que aumenta, la dispersión de la curva t correspondiente disminuye.
4. A medida que  , la secuencia de curvas t se aproxima a la curva normal estándar, por lo que la curva z recibe a veces el nombre de curva t con gl = 
La distribución de la variable aleatoria t está dada por:

Esta se conoce como la distribución t con  grados de libertad.
Sean X1, X2, . . . , Xn variablesaleatorias independientes que son todas normales con media  y desviación estándar . Entonces la variable aleatoria  tiene una distribución t con = n-1 grados de libertad.
La distribución de probabilidad de t se publicó por primera vez en 1908 en un artículo de W. S. Gosset. En esa época, Gosset era empleado de una cervecería irlandesa que desaprobaba la publicación de investigaciones de sus empleados.Para evadir esta prohibición, publicó su trabajo en secreto bajo el nombre de "Student". En consecuencia, la distribución t normalmente se llama distribución t de Student, o simplemente distribución t. Para derivar la ecuación de esta distribución, Gosset supone que las muestras se seleccionan de una población normal. Aunque esto parecería una suposición muy restrictiva, se puede mostrar que...