Teoria de perturbaciones dependientes del tiempo y aplicaciones a las interacciones con los campos clásicos de radiación

TRABAJO DE MECANICA CUANTICA
Teoria de perturbaciones dependientes del tiempo y
aplicaciones a las interacciones con los campos clásicos de radiación

A-I ntroducción:
Pocos problemas en el campo de la mecánica cuantica admiten solución
analítica, tanto sean prov enientes de un hamiltoniano dependiente del tiempo o
independiente del mismo.
Con fin de resolv er dichos sistemas se usanmétodos de aproximación
numérica.
Una de las maneras mas sencillas de abordar este problema es suponer una
perturbación a un hamiltoniano conocido, es decir, div idimos el hamiltoniano del
problema en dos, uno que sabemos resolv er y del cual tenemos la solución y una
perturbación que nos dará el hamiltoniano original , usualmente hacemos la
suposición que dicho hamiltoniano es independiente deltiempo y por supuesto
con una influencia menor sobre la solución que el hamiltoniano que sabemos
resolver, es decir , es una perturbación a este.
Aun así puede presentar dificultades como en el caso de que las soluciones
del hamiltoniano sean degeneradas, como también el orden deseado al que nos
queramos quedar, que no es tan trivial de determinar y solo la experiencia nos lo
dirá.
Cuandotenemos un hamiltoniano explícitamente dependiente del tiempo,
este tratamiento se complica, lo que conduce a introducir las imágenes de
interacción con tal de poder tratar dicho problema, como si estuv iéramos ante un
hamiltoniano independiente del tiempo.
Sin embargo todo esto ya lo v imos a lo largo de la asignatura.
En este trabajo v amos a concentrarnos en como encontrar las solucionesde las ecuaciones diferenciales a la que nos lleva el tratamiento de imagen de
interacción en el caso de un hamiltoniano dependiente del tiempo, que
resolveremos de un modo análogo mediante una teoría de perturbaciones, lo
cual nos llev ara a estudiar las series de Dyson y a introducir posteriormente la
transición de probabilidad, estos conceptos los ilustraremos con unos ejemplos
sencillos.Finalmente v eremos con ejemplos prácticos como podemos usar estas
teorías perturbativ as con tal de abordar problemas de campos clásicos de
radiación, para lo cual partiremos del análisis de un caso ampliándolo mediante
aproximaciones hasta llegar a un grupo de resultados que aunque no clásicos
guardan correlación con ellos.

B- Desarrollo del tema:
1- Teoría de perturbacionesdependientes del tiempo:
Serie de Dyson y transición de probabilidad.
Con la excepción de algunos problemas, como la dependencia temporal entre
dos niveles, no es posible encontrar soluciones exactas para la ecuación
diferencial de Cn(t) . Teniéndonos que conformar con soluciones aproximadas,
que se obtienen
normalmente mediante expansiones por
teoría de
perturbaciones, es decir:
Cn(t)= Cn(0) +Cn(1) + Cn(2)+....
Donde Cn(1) , Cn(2) indican amplitudes de primer orden, de segundo orden, etc...
desarrollados sobre el parámetro que dependa del potencial dependiente del
tiempo. El método iterativ o para resolver este problema es similar por tanto a lo
que se hizo para resolv er el potencial independiente del tiempo.
Si inicialmente se considera que solo hay un estado i, podemos aproximar Cn en
el lado derecho del igual de la ecuación:

Por Cn(1) = δ ni que es independiente del tiempo, t, y esta relacionando con la
deriv ada temporal de Cn(1) , integrando la ecuación diferencial para obtener Cn(1)
e introduciendo este v alor de nuev o a la derecha del igual en la ecuación
anterior para obtener Cn(2) , calculando, y actuando reiteradamente para
obtener el resto de lostérminos.
El método expuesto fue el usado por Dirac para desarrollar su teoría de
perturbaciones dependientes del tiempo en 1927.
Sin embargo en v ez de seguir este desarrollo para C n(t) , v amos a trabajar con el
operador de evolución temporal en la imagen de interacción que denominamos
por Ut (t, t0 ).
Obtenemos una expansión mediante perturbaciones de U t (t, t0 )
relacionaremos los...