teoria de sistemas

Número racional
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En matemática, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo[1] ) es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a fracción o parte de untodo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien , en Blackboard bold) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros (), y es un subconjunto de los números reales ().
La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para númerosescritos en base 10 (sistema decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional.
Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expansión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinitano-periódica.
En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre .
Contenido
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1 Construcciónformal
2 Aritmética de los números racionales
2.1 Definición de suma y multiplicación en Q
2.2 Relaciones de equivalencia y orden en Q
2.3 Existencia de neutros e inversos
2.4 Equivalencias notables en Q
2.5 Propiedades
3 Escritura decimal
3.1 Representación racional de los números decimales
3.2 Desarrollo decimal de los números racionales
3.3 Número racional en otras bases
4Propiedades topológicas de los números racionales
4.1 Número p-ádico
5 Véase también
6 Referencias
7 Bibliografía
Construcción formal
Véanse también: Dominio de integridad y Cuerpo de cocientes
Se puede ver un número racional como la clase de equivalencia de un par ordenado de enteros, con la siguiente relación de equivalencia:
 [Mostrar] Demostración

De esta manera , es decir que el conjuntode los números racionales es el cociente por la relación de equivalencia.
El conjunto de los números racionales .
[editar] Aritmética de los números racionales


Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.
[editar] Definición de suma y multiplicación en Q
Se define la suma
Se define la multiplicación
[editar] Relaciones de equivalencia y orden en Q
Se define laequivalencia cuando
Los racionales positivos son todos los tales que
Los racionales negativos son todos los tales que
Se define el orden cuando
[editar] Existencia de neutros e inversos
Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutro aditivo de los racionales y se le denota por 0.
Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutro multiplicativo de losracionales y se le denota por 1.
Cada número racional: tiene un inverso aditivo tal que
Cada número racional: con excepción de 0 tiene un inverso multiplicativo tal que
[editar] Equivalencias notables en Q
Todo número entero se puede escribir como fracción
con y


con y
con y .
[editar] Propiedades
El conjunto , con las propiedades de adición y multiplicación definidas más arriba,conforma un cuerpo conmutativo: el cuerpo de cocientes de los enteros .
Los racionales son el menor cuerpo con característica nula.
La clausura algebraica de , es el conjunto de los números algebraicos.
El conjunto de los números racionales es numerable, es decir que existe una biyección entre y (tienen la misma cantidad de elementos). El conjunto de los número reales no es numerable (la parte...