Teoria De Trigonometica

T R I G O N OM ET R I A

1.- ANGULOS
Existen tres sistemas de medición de ángulos que se emplean comúnmente:
a) Sistema sexagesimal: la unidad de medida es el grado sexagesimal (1°). Esta unidad
corresponde a la medida de un ángulo del centro que subtiende un arco igual a la
trescienta sesenta ava parte de la circunferencia.
Cada ángulo se subdivide en 60 parte iguales, cada una de lascuales corresponde
a un ángulo de un minuto (1’).
1° = 60’ y 1’ = 60’’ ⇒ 1° = 60’ = 3600’’

G

b) Sistema centesimal: la unidad de medida es el grado centesimal (1 ). Esta unidad
equivale a un ángulo del centro que subtiende un arco igual a la cuatrocienta ava
parte de la circunferencia.
G
m
Un grado centesimal (1 ) se subdivide en 100 minutos centesimales (100 ).
G
m
m
s
G
m
s
1= 100 y 1 =100 ⇒ 1 = 100 = 10.000
c) Sistema radial: En este sistema la unidad de medida es el radian ( 1 rad ). Esta
unidad equivale a un ángulo del centro que subtiende un arco cuya longitud es igual
al radio de la circunferencia.
360° = 2π rad
60° =

π
3

rad

; 180° = π rad
; 45° =

π
4

rad

; 90° =

; 30° =

π
6

π
2

rad

rad

Si se consideran las medidasde los lados de un triángulo rectángulo, se
observa que con ellas se pueden formar 6 razones que es necesario distinguir.
Sea ∆ABC rectángulo en C, de modo que sus lados miden a , b , c y el
ángulo opuesto al cateto de medida a mide α; entonces las razones entre las
medidas de los diferentes lados se denominan:
B

a

c

C

b

A

sen α =

cateto opuesto a α a
=
hipotenusa
ccateto adyacente a α b
=
hipotenusa
c
cateto opuesto a α
a
=
tgα =
cateto adyacente a α b

cos α =

cot α =

cateto adyacente a α b
=
α
cateto opuesto a
a

sec α =

hipotenusa
c
=
cateto adyacente a α b

cos ec α =

hipotenusa
c
=
cateto opuesto a α a

3.- Razones trigonométricas de ángulos complementarios
Para los ángulos agudos α y β de un
triángulo ABCrectángulo en C, como
el de la figura
Podemos constatar que se cumplen las
siguientes igualdades:
a
c
b
cos α = sen β =
c

sen α = cos β =

α + β = 90° y 90° =

π
2

rad

C

A

a
b
b
cot g α = tg β =
a
tg α = cot g β =

α = 90° − β =

π
2

−β

B

c
a
c
cos ec α = sec β =
a
sec α = cos ec β =

y β = 90° − α =

π
2

−α

Por lo tanto, también podemosescribir :

π

sen α = cos (90° − α )= cos − α 
2


π

cos α = sen(90° − α )= sen − α 
2


π

tgα = cot g (90° − α )= cot g  − α 
2


π

cot g α = tg (90° − α )= cot g  − α 
2


π 
α = cosec (90° − α )= cosec  
sec

π

α = sec (90° − α )= sec − α 
cosec

 2

2



4.- La circunferencia goneométrica
Toda circunferenciacuyo radio se considera
de medida unitaria (1u) y que tiene su centro
ubicado en el origen O(0,0) de un sistema de
ejes coordenados perpendiculares.
De donde se puede obtener lo siguiente:
cos α = x ; sen α = y
sen α
cosα
1
secα =
cosα
1
tg α =
cot gα
tg α =

cosα
sen α
1
cos ecα =
sen α
1
cot gα =
tg α

cot gα =

;
;
;

1

senα

1

α

cos α

-1

-1

1θ
0°

sen θ
0

cos θ
1

tg θ
0

cotg θ

cosec θ

No está
definida

sec θ
1

90°

1

0

No está
definida

0

No está
definida

1

180°

0

-1

0

No está
definida

-1

No está
definida

270°

-1

0

No está
definida

0

No está
definida

-1

360°

0

1

0

No está
definida

1

No está
definida

No estádefinida

5.- Razones trigonométricas de ángulos notables (30°, 45° y 60°)
Para encontrar los valores de las funciones de 30° y 60° se debe
considerar la construcción de un triángulo equilátero; y para hallar los valores
de las funciones de 45° se construye un triángulo rectángulo isósceles
De dicho análisis se obtienen el siguiente cuadro resumen:
θ

sen θ

cos θ

tg θ

30°

1

3...