Teoria De Variables Aleatorias

USAC FACULTAD DE INGENIERÍA ÁREA DE ESTADÍSTICA ESTADISTICA 1

Unidad No 2: Variables aleatorias
1. Descripción de la unidad

Las distribuciones contribuyen al definición de funciones que permiten caracterizar fenómenos o experimentos aleatorios al asignar, a través de una variable aleatoria, en el conjunto numérico de los números reales un solo valor a cada uno de los elementos del espaciomuestral. Así mismo, permite reconocer la diferencia entre variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas, además se estudia el cálculo de indicadores como la esperanza y la varianza para variables en una dimensión.

2.

Objetivos
   Que el estudiante se comprenda e identifique los elementos básicos de las variables aleatorias en una dimensión. Que el estudiante reconozcay aplique las distribuciones de funciones de probabilidad y funciones de densidad de probabilidad. Que el estudiante reconozca y aplique la importancia del valor esperado y la varianza en el estudio de las variables aleatorias.

3.

Organización del contenido
Variables aleatorias unidimensionales.  Variables aleatorias discretas.  Variables aleatorias continuas.  Función de distribuciónacumulada.  Valor esperado de una variable aleatoria.  Varianza de una variable aleatoria. 

4.

Síntesis teórica

Podemos definir una variable aleatoria como una función que asigna un número real  n a cada uno de los valores posibles de un espacio muestral S asociado a un experimento aleatorio. Esta asignación permite establecer el recorrido de una variable aleatoria, y dependiendo delconjunto numérico al que lo asigne se clasifican las variables aleatorias en discretas y continuas.

Variables aleatorias unidimensionales
Variables aleatorias discretas
Sea X una variable aleatoria, se dice que X es discreta si el dominio del espacio muestral es finito o infinito contable y la función X asigna valores en el conjunto numérico de los enteros Z, o en algún subconjunto de este.Asociado con X debe existir una función de probabilidad f(x) = p(x) que representa la probabilidad de ocurrencia de cada valor de X P(X=x) y que satisface las siguientes condiciones de probabilidad:
1. 2. 0  p(x)  1

 p( x )  1

Al conjunto de pares {x, p(x)} se le conoce como distribución de probabilidad de X.

Variables aleatorias continuas
Sea X una variable aleatoria, se dice que Xes continua si el dominio del espacio muestral es infinito  . Asociado con X debe existir una función de densidad de probabilidad f(x) que satisface las siguientes condiciones de probabilidad:

1. 2. 3.

f(x)  0


para toda x

-

 f(x)dx  1
b a

Si (a, b)  - ,  entonces P(a  X  b)   f(x)dx

Función de distribución acumulada
La función de distribución acumulada F(X)=P(X < x) representa la probabilidad acumulada de X hasta un valor máximo x.   Distribuciones de probabilidad discreta F(X)  P(X  x )   p( x )
x
x

Distribuciones de probabilidad continua: F(X)  P(X  x ) 



 f (s)ds

2

Valor esperado de una variable aleatoria
El valor esperado de una variable aleatoria X, sea discreta o continua, se puede considerar como el valor medioque puede ocurrir dentro del recorrido de una variable aleatoria.   Distribuciones de probabilidad discreta E(X)   xp (x )
x


Distribuciones de probabilidad continua:  ( x ) 



 xf ( x)dx

Varianza de una variable aleatoria
La varianza de una variable aleatoria representa el valor esperado de las desviaciones del recorrido de X respecto a su valor esperado.   Distribucionesde probabilidad discreta V(X )   x 2 p(x )  E(X ) 
x
x

2

Distribuciones de probabilidad continua:  2 ( x ) 



x

2

f ( x )dx  (  ( x )) 2

Valor esperado de una variable aleatoria
 Distribuciones de probabilidad discreta

E(X)   xf ( x )
x

E(Y)   yf ( y)
y



Distribuciones de probabilidad continua:


 ( x )   xf ( x )dx
 

 ( y) ...