Teoria Del Consumidor-Dualidad

Dualidad en la Teoría del Consumidor
Jorge Ibarra Salazar
Profesor Asociado
Departamento de Economía
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
Campus Monterrey
Septiembre de 2001
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Introducción
En esta nota técnica presento las diferentes formas derepresentar las preferencias del
consumidor, las relaciones que existen entre ellas y la forma en que se pueden derivar las
funciones de demanda con tales representaciones. Al hacer este análisis se aplicará el concepto
de dualidad a la teoría del consumidor. Adicionalmente, analizaremos las formas en las que se
puede plantear el problema de elección del consumidor: la elección de la canasta de bienesque
maximice la función de utilidad sujeta a la restricción presupuestaria; la elección de la canasta de
bienes que minimice el gasto de cierto nivel de utilidad; la elección de los precios normalizados
que minimicen la utilidad indirecta sujeto a la restricción presupuestaria; y la elección de precios
normalizados que minimicen el gasto de una canasta de referencia. Limitaremos nuestro estudio
alcaso en el cual el consumidor tiene que elegir una canasta de bienes compuesta por únicamente
dos bienes, aunque los resultados pueden ser extendidos para situaciones en que las canastas de
bienes se compongan por cualquier número de éstos.
En síntesis esta nota contiene el estudio de los siguientes aspectos:
1. Las diferentes formas de representar las preferencias del consumidor, y de la forma enque a partir de ellas es posible obtener las funciones de demanda.
2. La forma en que se pueden obtener las funciones de demanda a partir de los teoremas
de dualidad (Hotelling-Wold, Shephard, Roy).

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3. Así mismo, veremos que la ecuación de Slutsky es fácilmente derivada a través del uso
de los teoremas de dualidad aplicados al análisis del consumidor.
La idea general de la dualidad en lateoría del consumidor, es que un problema de
elección puede ser caracterizado en formas alternativas, esto es, con diferentes modelos, y que
además existen ciertas relaciones entre los resultados encontrados en los modelos alternativos.
Para ilustrar esta idea, consideremos en particular el problema de elección de una canasta de
bienes optima por parte del consumidor. Denotemos las cantidades de dosbienes como X e Y, y
sus precios como Px y Py respectivamente. Este problema de elección puede ser planteado, entre
otras, en dos formas. La primera consiste en la elección de la combinación de bienes que
maximiza la función de utilidad sujeto a la restricción presupuestaria. Esto es,
Max U(X, Y) sujeto a: Px X + Py Y ≤ I,
x,y

(1)

donde U(X, Y) es la función directa de utilidad que se suponecontinua y diferenciable, I
representa el ingreso. La segunda forma de plantear el problema del consumidor consiste en
elegir la canasta de bienes que minimiza el gasto de obtener cierto nivel de utilidad:
Min Px X + Py Y sujeto a: U(X, Y) ≥ U0.
x,y

(2)

Si la función de utilidad y los precios de los bienes son los mismos en ambos
planteamientos, si el gasto mínimo del problema (2) es el ingreso delproblema (1), y además si el
nivel de utilidad máximo del problema (1) es U0 en el problema (2), entonces las canastas optimas
de bienes en los problemas descritos por las ecuaciones (1) y (2) serán las mismas. Debemos
aclarar, sin embargo, que las funciones de demanda obtenidas en cada planteamiento son
diferentes. Las funciones de demanda obtenidas a partir del problema (1) son las demandasordinarias o Marshalianas, en tanto que las obtenidas del problema (2) son las demandas
compensadas o Hicksianas. Recordemos que adicionalmente las funciones de demanda
resultantes de ambos modelos están también relacionadas a través de la Ecuación de Slutsky.

2

Las preferencias del consumidor pueden ser representadas a través de diferentes formas;
la función directa de utilidad, la función...