Teoria electromagnetica

Ejemplo de unicidad de las coordenadas can´nicas. o
Sea R2 con las coordenadas cartesianas (x, y). Fijamos la m´trica de Riemann g ≡ (dx)2 + (dy)2 y un punto p ∈ R2 . e Sea u(x, y), v(x, y) unafunci´n tangente de 1er orden a ( x + cte1 , y + cte2 ) en p : o ux (p) = 1 , uy (p) = 0 , vx (p) = 0 , vy (p) = 1 . Por el teorema de las funciones inversas, cualquier par de funciones suaves cumpliendoeso son coordenadas en alg´n entorno de p . El que (u, v) sean can´nicas para g en p quiere u o 2 + (dv)2 + R , donde el “resto” R es un campo de formas cuadr´ticas decir que g ≡ (du) a R ≡ A (du)2 +B 2 du dv + C (dv)2 , con A(p) = B(p) = C(p) = Au (p) = Av (p) = Bu (p) = Bv (p) = Cu (p) = Cv (p) = 0 . Por el apartado 4.6 del libro, eso equivale a R ≡ A (dx)2 + B 2 dx dy + C (dy)2 con A(p) = B(p)= C(p) = Ax (p) = Ay (p) = Bx (p) = By (p) = Cx (p) = Cy (p) = 0 . La identidad R ≡ g − (du)2 − (dv)2 equivale al sistema de identidades:
2 A ≡ 1 − u2 − vx x

,

B ≡ −ux uy − vx vy

,

2 C ≡1 − u2 − vy . y

Los valores de ux (p), uy (p), vx (p), vy (p) garantizan que A, B, C se anulan en p. La anulaci´n de las derivadas 1as de A, B, C en p se traduce en el siguiente sistema de ocondiciones sobre (u, v): 2 0 = ∂x |p (1 − u2 − vx ) = − 2 ux uxx − 2 vx vxx p = −2 uxx (p) , x
2 0 = ∂y |p (1 − u2 − vx ) = − 2ux uxy − 2vx vxy p = −2 uxy (p) , x 0 = ∂x |p (−ux uy − vx vy ) = − uxx uy −ux uyx − vxx vy − vx vyx 0 1 1 p 0 1 0

p

= −uyx (p) − vxx (p) ,

0 = ∂y |p (−ux uy − vx vy ) = − uxy uy − ux uyy − vxy vy − vx vyy 2 0 = ∂x |p (1 − u2 − vy ) = − 2uy uyx − 2vy vyx p = −2 vyx(p) , y 2 0 = ∂y |p (1 − u2 − vy ) = − 2uy uyy − 2vy vyy p = −2 vyy (p) . y Hacemos las siguientes observaciones:

= −uyy (p) − vxy (p) ,

o → S´lo aparecen condiciones sobre las derivadas 2as de(u, v) en p . → Esas condiciones son lineales. → Hay el mismo n´mero de ecuaciones que de inc´gnitas: 6 ecuaciones para 6 n´meros. u o u El sistema es:   uxx (p) = 0     u (p) = 0  xy    ...