teoria elemental de conjuntos

Teoría elemental de conjuntos
Lógica proposicional

Una proposición es cualquier enunciado lógico al que se le pueda asignar un valor de verdad (1) o falsedad (0).
Dada una proposición p, se define la negación de p como la proposición p' que es verdadera cuando p es falsa
y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "no p".
A partir de una o varias proposiciones elementales se puedenefectuar diversas operaciones lógicas para construir
nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en función de los valores de
las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a través de las tablas de verdad de dichas operaciones.
Por ejemplo, la tabla de verdad de la negación es la siguiente:
p
p'
1
0
0
1
A continuación se describenlas principales operaciones lógicas entre dos proposiciones p,q y sus tablas de verdad:
Conjunción: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en cualquier otro caso.
Se escribe p  q, y se lee "p y q".
p
q
p  q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Disyunción: es aquella proposición que es verdadera cuando al menos una de las dos p o q es verdadera,
yfalsa en caso contrario. Se escribe p  q, y se lee "p o q".
p
q
p  q
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Disyunción exclusiva: es aquella proposición que es verdadera cuando una y sólo una de las dos p o q es verdadera,
y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p  q, y se lee "p o q pero no ambas". Se usa muy poco.
p
q
p  q
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Condicional: es aquellaproposición que es falsa únicamente cuando la condición suficiente p es verdadera y la
condición necesaria q es falsa. Se escribe p  q, y se lee "si p entonces q".
p
q
p  q
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
Bicondicional: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad,
y falsa en caso contrario. Se escribe p  q, y se lee "si y sólo si p entoncesq".
p
q
p  q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Una proposición se dice que es una tautología si su valor de verdad es siempre 1 independientemente de los valores
de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p  p'.
Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad es siempre 0 independientemente de los valores
de las proposiciones que lo componen; porejemplo: p  p'.
Una paradoja es una proposición a la que no se le puede asignar ningún valor de verdad; suelen estar relacionadas con
incorrecciones en el lenguaje lógico. Por ejemplo: p="la proposición p es falsa".
Dos proposiciones p y q se dicen equivalentes si tienen la misma tabla de verdad en función de las proposiciones elementales
que lo componen; esta definición equivale a decir quela proposición p  q es una tautología. Por ejemplo, las proposiciones
p  q
y
q'  p'
son equivalentes. Esta ley se llama "ley del contrarrecíproco", y se usa en los razonamientos por reducción al absurdo.
Se pueden obtener fácilmente más "resultados lógicos" a través de su relación con la teoría de conjuntos.


Números naturales : principio de inducción

Admitivos como intuitivoel concepto de número natural; así, podemos enumerar los números naturales en orden creciente:
N = { 1,2,3,4,5, ... }
Cuando se quiere demostrar que una proposición relativa a números naturales es cierta, se necesita el Principio de Inducción:
"Sea S el conjunto de números naturales para los que la proposición p(n) es cierta; supongamos que
m  S
y que
n S  n+1  S
Entonces S = {m,m+1,m+2, ... }"
(es decir, la propiedad se verifica para todo número natural a partir de m; normalmente se usa con m = 1).
Algunas veces, cuando se quiere demostrar que la proposición es cierta para n+1, es necesario usar que la proposición
se verifica para todo k < n+1; en ese caso se utiliza el Principio de Inducción completa:
"Sea S el conjunto de números naturales para los que la...