Teoria errores

Problemas
1. Exprese correctamente, con todas sus cifras significativas, las cantidades siguientes:
a) 17,923 ± 1,691= 17,9 ± 1,7
b) 0,00005432 ± 3,68 ×10−6 = (5,4 ± 0,4) x 10-5
c) 9789,8 ± 10,9 = 9790 ± 11
d) 3,3923 ± 0,2501= 3,4 ± 0,3
e) (22,34 × 10−6) ± (5,49 × 10−8)= (22,34 ± 0,05) x 10−6
f ) 999,9 ± 10,2 = 1000 ± 10


2. Indique qué error absoluto y qué error relativo se cometeal hacer las aproximaciones
a) √(1 + x) ≈ 1 + x/2  √1,2 ≈ 1,1  1.095 ≈ 1.1
b) ex ≈ 1 + x  1.2214 ≈ 1.2
para x = 0,2.

El error absoluto para el apartado a) 0.005, ya que es la diferencia entre el valor exacto y la medida. En el caso del apartado b) -0.0214.
Error relativo:

a)εrel = |0.005/√1.2 |x 100 = 0.46%
b) εrel = |(-0.0214)/√1.2214| x 100 = 1.94%


3. De las dos medidassiguientes, ¿Cuál tiene más precisión?
L = 1023,2 ± 0,2 cm
T = 0,062 ± 0,001 s

εrelat=|εabsoluto/h| x100

εrel (L)= |0.2/1023.2| x 100 = 0.019 %

εrel (T) = |0.001/0.062| x 100 = 1.613 %

La medida L tiene mayor precisión ya que el error relativo es menor que el error relativo de T. Ya que para comparar la precisión nos debemos fijar en el error relativo, ya que si nos fijamos en elerror absoluto, puede ser muy preciso en algunos casos y en otros no. Por ejemplo si en la medida L, cuyo error es 0.2 cm la medida real es 0.5cm es poco preciso, pero si la medida real fuera 5m su precisión sería muy alta.





4. Dos magnitudes físicas, x e y, se relacionan por medio de la fórmula
y = 3 ln(1/x). Si x = 32 ± 2, ¿Cuál será el valor de y y su error?
y = 3 ln (1/32) = -10,3972ε (y) = √([∂y/∂x ε(x)]^(2 ) ) = √([(-3)/x ε(x)]^(2 ) ) =√([(-3)/32 2]^(2 ) ) = 0.1875
∂y/∂x = y’  x = p y = 3 ln (1/p)  y’ = (-3)/p

y =-10.40 ± 0.19
y= -10.3972 ± 0.1875 


5. Obtenga una expresión para el error de z si conocemos el error absoluto de x e y en los siguientes casos.
a) z = x – y

ε (z) = [∂z/∂x ε(x)]^ +[∂z/∂y ε(y)]^ = (1-y) ε(x)+ (x-1) ε(y)

b) z= xy

ε (z) = [∂z/∂x ε(x)]^ +[∂z/∂y ε(y)]^ = yε(x)+ x ε(y)

c) z = xy2

ε (z) = [∂z/∂x ε(x)]^ +[∂z/∂y ε(y)]^ = y2 ε(x)+ (2xy) ε(y)

d) z = 3x/y

ε (z) = [∂z/∂x ε(x)]^ +[∂z/∂y ε(y)]^ = (3/y) ε(x)+ (-3x/y2) ε(y)


6. Queremos conocer la caída de tensión en una resistencia de valor R =
7,623 ± 0,012 Ω. La intensidad medida es I = 2,06 ± 0,03 A. Obtenga
V con su error.

V =RI  V =7.623 * 2.06 = 15.70338Ω

ε (V) = √([∂V/∂I ε(I)]^(2 )+[∂V/∂R ε(R)]^(2 ) ) =√(〖(R ε(I))〗^2+(〖I ε(R))〗^2 ) = √(〖(7.623*0.03)〗^2+ 〖(2.06*0.012)〗^2 ) = 0.0864

∂V/∂I  I = x v = Rx  v’ = R

∂V/∂R  R = x v = Ix  v’ = I

V= 15.70338 ± 0.0864 Ω
V = 15.70 ± 0.09 Ω

7. Para calcular el volumen de un prisma de base cuadrada de lado L y altura H se miden las longitudes L y H con elresultado
L = 2,30 ± 0,16 cm
H = 6,21 ± 0,07 cm
Conociendo que el volumen del prisma viene dado por V = L2H, determine
el valor de V con su error.

ε (V) = √([∂V/∂L ε(L)]^(2 )+[∂V/∂H ε(H)]^(2 ) ) =√(〖(2HL ε(L))〗^2+(〖L^2 ε(H))〗^2 ) = √(〖(2*6.21*2.30*0.16)〗^2+ 〖(〖2.30〗^2*0.07)〗^2 ) =4.5855〖cm〗^3

∂V/∂L = V’ L = x V =x2 H V’= 2x*H = 2HL

∂V/∂H = V’ H =x  V = Hx  V’ = HV=〖2.30〗^2*6.21= 32.8509 〖cm〗^3
V= 33 ± 5 〖cm〗^3

8. Una barra de cobre de longitud L = 1,2 m y sección A = 4,8 ± 0,1 cm2 está aislada para evitar pérdidas de calor a través de su superficie.
Los extremos se mantienen a una diferencia de temperatura ∆T =
100 ± 0,5 ◦C, situando un extremo en una mezcla de hielo y agua y el otro en agua hirviendo y vapor. Si la expresión de la corriente térmica es
I=kA ∆T/Ldonde k es la conductividad térmica, que en el caso del cobre tiene el valor k = 4011 ± 1 W/mK. Calcule con qué precisión, en centímetros, es necesario medir la longitud de la barra para que el error de la corriente térmica sea como máximo del 25%.

L= 1.2m x 100 =120 cm
A = 4.8 ± 0.1 cm2
∆T = 100 ± 0.5 ºC
K = 4011 ± 1W/mK

I=kA ∆T/L  I = (4011 x 4.8 x 100)/120 = 16044 A...