Teoria Errores
Páginas: 27 (6568 palabras)
Publicado: 16 de marzo de 2015
LABORATORIO DE FÍSICA - E.T.S.I.T.
Curso 2005–2006
Introducción a la Teoría de Errores
MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS.
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE ERRORES
La física intenta describir los fenómenos que se observan en la naturaleza y buscar conceptos que
permitan explicar el posible funcionamiento de dichos fenómenos. Para llegar a tales explicaciones
(e.g. reglas, leyes o teorías) se han deobservar cuidadosamente los fenómenos e intentar repetirlos
de forma simplificada en experimentos de laboratorio, obteniendo observaciones cada vez más
precisas.
Si los experimentos son cuantitativos se tiene la oportunidad de explicar los fenómenos mediante
expresiones matemáticas de forma que se puedan establecer relaciones (leyes empíricas) entre
distintas magnitudes físicas.
Para evaluarconvenientemente los experimentos que permiten definir y medir magnitudes físicas
con exactitud es necesario tener en cuenta en qué medida los valores que se manejan coinciden con
los verdaderos.
Cantidades aproximadas
En las ciencias experimentales y en la ingeniería es muy frecuente trabajar con valores
aproximados de las cantidades en lugar de utilizar sus valores exactos, con todas sus cifras.
Muchosnúmeros racionales así como la totalidad de los irracionales tienen una cantidad infinita de
cifras decimales de forma que, para realizar los cálculos en los que intervienen, han de ser
aproximados por otros números con una cantidad finita de cifras decimales.
Ejemplos:
1
= 0,33333333... ≈ 0,33
3
2 = 1,414213562373095... ≈ 1,4
π = 3,1415926535897932385... ≈ 3,1416
e = 2,7182818284590452354... ≈2,718
Los números enteros muy grandes se suelen aproximar por otros con menor cantidad de cifras no
nulas, siempre que éstos proporcionen la precisión necesaria para los cálculos.
Ejemplo:
30! = 265252859812191058636308480000000 ≈ 26525 ⋅ 10 28
Los valores resultantes de medir una magnitud física, como veremos en adelante, están siempre
afectados de una cierta incertidumbre con respecto al valorverdadero de la magnitud y, en
consecuencia, son siempre cantidades aproximadas.
—1—
LABORATORIO DE FÍSICA - E.T.S.I.T.
Curso 2005–2006
Introducción a la Teoría de Errores
Error de una cantidad aproximada
es la diferencia entre la cantidad exacta (llamémosle x) y su valor aproximado (llamémosle a).
En contadas ocasiones se conoce el valor exacto del error y además es posible escribirlocompletamente. Es este el caso de las aproximaciones de números enteros cuyo valor exacto se
conoce.
Ejemplo:
si se aproxima 30! = 265252859812191058636308480000000 ≈ 26525·1028,
el error cometido vale exactamente
265252859812191058636308480000000 – 26525·1028 = 2859812191058636308480000000
En algunos casos se conoce el valor del error pero no puede escribirse completamente ni utilizarse
en loscálculos porque tiene una cantidad infinitamente grande de cifras decimales. Se tiene esta
situación cuando se toman valores aproximados de constantes matemáticas racionales, irracionales
o trascendentes.
Ejemplo:
si se aproxima π = 3,1415926535897932385... por p = 3,1416
el error vale exactamente
3,1415926535897932385...–3,1416 = –0,0000073464102067615...
pero no es posible escribir todas suscifras.
En la mayoría de las situaciones prácticas no se conoce el valor verdadero de las cantidades con las
que se trabaja y, en consecuencia, tampoco se conoce con exactitud el error. En estos casos se
suele disponer únicamente de una estimación, más o menos fiable, del orden de magnitud de los
errores.
Ejemplos:
Cuando una calculadora nos devuelve el valor
2 ≈ 1,4142136 sólo se sabe que el errores menor
que una unidad de la última cifra hacia arriba o hacia abajo.
Cuando medimos la longitud de una mesa con una cinta
métrica con divisiones de centímetro en centímetro, en
principio sólo podemos asegurar que el valor que
leemos en la cinta se diferencia de la longitud real de la
mesa en menos de un centímetro (ya que en caso
contrario hubiéramos leído un valor superior o inferior)
pero...
Curso 2005–2006
Introducción a la Teoría de Errores
MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS.
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE ERRORES
La física intenta describir los fenómenos que se observan en la naturaleza y buscar conceptos que
permitan explicar el posible funcionamiento de dichos fenómenos. Para llegar a tales explicaciones
(e.g. reglas, leyes o teorías) se han deobservar cuidadosamente los fenómenos e intentar repetirlos
de forma simplificada en experimentos de laboratorio, obteniendo observaciones cada vez más
precisas.
Si los experimentos son cuantitativos se tiene la oportunidad de explicar los fenómenos mediante
expresiones matemáticas de forma que se puedan establecer relaciones (leyes empíricas) entre
distintas magnitudes físicas.
Para evaluarconvenientemente los experimentos que permiten definir y medir magnitudes físicas
con exactitud es necesario tener en cuenta en qué medida los valores que se manejan coinciden con
los verdaderos.
Cantidades aproximadas
En las ciencias experimentales y en la ingeniería es muy frecuente trabajar con valores
aproximados de las cantidades en lugar de utilizar sus valores exactos, con todas sus cifras.
Muchosnúmeros racionales así como la totalidad de los irracionales tienen una cantidad infinita de
cifras decimales de forma que, para realizar los cálculos en los que intervienen, han de ser
aproximados por otros números con una cantidad finita de cifras decimales.
Ejemplos:
1
= 0,33333333... ≈ 0,33
3
2 = 1,414213562373095... ≈ 1,4
π = 3,1415926535897932385... ≈ 3,1416
e = 2,7182818284590452354... ≈2,718
Los números enteros muy grandes se suelen aproximar por otros con menor cantidad de cifras no
nulas, siempre que éstos proporcionen la precisión necesaria para los cálculos.
Ejemplo:
30! = 265252859812191058636308480000000 ≈ 26525 ⋅ 10 28
Los valores resultantes de medir una magnitud física, como veremos en adelante, están siempre
afectados de una cierta incertidumbre con respecto al valorverdadero de la magnitud y, en
consecuencia, son siempre cantidades aproximadas.
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Curso 2005–2006
Introducción a la Teoría de Errores
Error de una cantidad aproximada
es la diferencia entre la cantidad exacta (llamémosle x) y su valor aproximado (llamémosle a).
En contadas ocasiones se conoce el valor exacto del error y además es posible escribirlocompletamente. Es este el caso de las aproximaciones de números enteros cuyo valor exacto se
conoce.
Ejemplo:
si se aproxima 30! = 265252859812191058636308480000000 ≈ 26525·1028,
el error cometido vale exactamente
265252859812191058636308480000000 – 26525·1028 = 2859812191058636308480000000
En algunos casos se conoce el valor del error pero no puede escribirse completamente ni utilizarse
en loscálculos porque tiene una cantidad infinitamente grande de cifras decimales. Se tiene esta
situación cuando se toman valores aproximados de constantes matemáticas racionales, irracionales
o trascendentes.
Ejemplo:
si se aproxima π = 3,1415926535897932385... por p = 3,1416
el error vale exactamente
3,1415926535897932385...–3,1416 = –0,0000073464102067615...
pero no es posible escribir todas suscifras.
En la mayoría de las situaciones prácticas no se conoce el valor verdadero de las cantidades con las
que se trabaja y, en consecuencia, tampoco se conoce con exactitud el error. En estos casos se
suele disponer únicamente de una estimación, más o menos fiable, del orden de magnitud de los
errores.
Ejemplos:
Cuando una calculadora nos devuelve el valor
2 ≈ 1,4142136 sólo se sabe que el errores menor
que una unidad de la última cifra hacia arriba o hacia abajo.
Cuando medimos la longitud de una mesa con una cinta
métrica con divisiones de centímetro en centímetro, en
principio sólo podemos asegurar que el valor que
leemos en la cinta se diferencia de la longitud real de la
mesa en menos de un centímetro (ya que en caso
contrario hubiéramos leído un valor superior o inferior)
pero...
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