Teoria Galois

¡Qu´ bonita es la teor´ de Galois! e ıa
´ ´ Algebra II. Tercero de Matematicas.

Gauss

Abel

Galois

r o L

t e Fe rn en a 2003/2004 o z i h m a

n d o C

´ Algebra II reloaded
Esto ser´ en el futuro un prefacio. Por ahora, hasta que no finalice el curso, no puedo a decir m´s que generalidades. Entre ellas, la m´s relevante es que estas notas est´n basadas a a a en otras queescrib´ de la asignatura hom´nima los cursos 1995/96 y 1996/97, disponibles ı o en la p´gina http://www.uam.es/fernando.chamizo (en mi “segunda vivienda”). a Evidentemente, el cambio de t´ ıtulo indica que ha habido modificaciones sustanciales desde entonces. La m´s notable se debe a que la parte de teor´ de anillos que ha a ıa ´ perdido Algebra I, ahora pertenece a la asignatura que nos ocupar´, porello hay un a primer cap´ ıtulo totalmente nuevo. Tambi´n se han a˜adido gran cantidad de ejercicios, e n algunos ejemplos, observaciones, ap´ndices y tonter´ En fin, nada que me haya servido e ıas. para nada m´s que fabricarme un trocito de pasado. a Acabo estas breves l´ ıneas agradeciendo a Carlos Vinuesa (estudiante y cin´filo) la e revisi´n profunda que hizo de muchas secciones de la antiguaversi´n de las notas. En reo o conocimiento he puesto a este prefacio provisional el t´ ıtulo de uno de sus mensajes. Dicho sea de paso, el cap´ ıtulo de agradecimientos est´ abierto, y ruego a los que tengan ´nimo a a y ganas de investigar erratas, fallitos y errores vergonzantes, que me los comuniquen para incorporar los cambios pertinentes a estos apuntes.

Madrid, febrero de 2004Contenidos

Cap´ ıtulo 1. Teor´ de anillos ıa • 1.1. Definici´n de anillo. o • 1.2. Ideales y cocientes. • 1.3. Factorizaci´n. o Cap´ ıtulo 2. Cuerpos y sus extensiones • 2.1. Definici´n de cuerpo. o • 2.2. Extensiones de cuerpos. • 2.3. Tres problemas cl´sicos. a Cap´ ıtulo 3. Teor´ de Galois ıa • 3.1 El grupo de Galois. • 3.2 Extensiones normales y separables. • 3.3 El teorema fundamental de la teor´ deGalois. ıa Cap´ ıtulo 4. Resolubilidad por radicales • 4.1 Grupos solubles. • 4.2 El teorema de Galois. • 4.3 Algunas aplicaciones.

La teor´ de Galois en menos de cincuenta minutos ıa
La idea genial bajo la teor´ de Galois es que se pueden representar ciertos conjuntos ıa asociados a la soluci´n de ecuaciones algebraicas mediante grupos de simetr´ Esta o ıas. frase es tan lapidaria comoincomprensible. Afortunadamente todav´ podemos utilizar ıa los 49 minutos 50 segundos restantes para tratar de clarificarla un poco. Comencemos resolviendo la ecuaci´n general de segundo grado x2 + bx + c = 0. o Considerando sus ra´ r1 y r2 como variables arbitrarias, los coeficientes b y c vienen ıces dados por funciones polin´micas sim´tricas de ellas: o e x2 + bx + c = (x − r1 )(x − r2 ) ⇒ b = b(r1, r2 ) = −r1 − r2 , c = c(r1 , r2 ) = r1 r2 . √ La f´rmula para resolver la ecuaci´n (hallar r1 y r2 a partir de b y c) es (−b+ b2 − 4c)/2 o o donde el radical no es una verdadera funci´n univaluada, sino que hay que asignarle dos o valores, uno con m´s y otro con menos. Este radical obra el milagro de pasar de una a funci´n sim´trica en r1 y r2 , concretamente b2 − 4c = (r1 + r2 )2 − 4r1 r2 , ados funciones o e √ no sim´tricas, b2 − 4c = ±(r1 − r2 ). e En la ecuaci´n de tercer grado x3 + bx2 + cx + d = 0, de nuevo b, c y d se pueden o considerar como funciones sim´tricas en las variables r1 , r2 y r3 que representan las e ra´ ıces: b = −r1 − r2 − r3 , c = r1 r2 + r1 r3 + r2 r3 y d = −r1 r2 r3 . La f´rmula para resolver la ecuaci´n es en este caso bastante m´s complicada y se puede o o aescribir como: √ t b2 − 3c b 3 − + + con t = E 3 3 3t donde √ 9bc − 2b3 − 27d + D E= y D = (9bc − 2b3 − 27d)2 + 4(3c − b2 )3 . 2 En resumidas cuentas, la resoluci´n de la ecuaci´n pasa por hallar primero una ra´ o o ız cuadrada de D y despu´s otra c´bica (trivaluada) de E. Si tuvi´ramos tiempo y paciencia e u e para sustituir b, c y d en t´rminos de las ra´ ver´ e ıces ıamos que E = (r1 + ζr2 +...