Teoria General de Sistemas

1. Una compañía vende dos clases de productos, el A y el B. El precio de venta y los costos incrementales se muestran a continuación:



Producto A

Producto B
Precio de venta

$60

$40
Costo incremental

$30

$10
Utilidad incremental

$30

$30

Los dos productos se producen en el mismo proceso de producción y se venden en dos diferentes mercados. El proceso e produccióntiene una capacidad de 30,000 horas de mano de obra. Toma 3 horas producir una unidad de A y una hora producir una unidad de B. Se ha investigado el mercado y los ejecutivos estiman que el máximo número de unidades de A que se pueden vender es de 8,000; el máximo número de B es de 12,000 unidades. Sujetos a esas limitaciones, los productos pueden venderse en cualquier combinación.

Formule elproblema como uno de programación lineal, escribiendo las ecuaciones apropiadas.
Maximizar P = 30A + 30B
Sujeto a: 3A + 1B ≤ 30,000
A ≤ 8,000
B ≤ 12,000

Simultáneas:
3A + B = 30,000 ; A = 8,000
3(8,000) + B = 30,000 ; B = 6,000
P = 30(8,000) + 30(6,000) ; P = 420,000
Simultáneas:
3A + B = 30,000 ; B = 12,000
3A + 12,000 = 30,000 ; A = 6,000
P = 30(6,000) +30(12,000); P = 540,000 Óptimo



2. Una empresa fabrica dos productos A y B. Cada uno de ellos requiere tiempo de 2 máquinas. La primera máquina tiene disponibilidad de 23 horas y la segunda de 15 horas. Cada unidad de producto A requiere 3 horas de tiempo de ambas máquinas. Cada unidad del producto B requiere 5 horas de la primera máquina y 2 horas de la segunda. La utilidad es de $3 porunidad de A y $5 por unidad de B. La empresa puede vender todos los productos A y B que fabrique.

a) formule el problema lineal y represéntelo gráficamente, asumiendo que el objetivo es maximizar las utilidades.

Formulación:
Sea:
X1 = Número de unidades del producto A por fabricar.
X2 = Número de unidades del producto B por fabricar.
P = utilidad
Maximizar P = 3X1 + 5X2
Sujeto a: 3X1+ 5X2 ≤ 23
3X1 + 2X2 ≤ 15
X1 , X2 ≥ 0
Q
b) ¿Qué puede decir acerca del punto F con coordenadas (5,4)?

El punto F se refiere a la producción de 5 unidades de A, y 4 unidades de B. Esto implica que:
3X1 + 5X2 ≤ 23 ; 2(5) + 3(4) = 22 ; 22 ≤ 23
3X1 + 2X2 ≤ 15 ; 2(5) + 1(4) = 14 ; 14 ≤ 15
Es decir, se requieren 22 horas de uso de la primera máquina y puesto que es menor que el totaldisponible de 24 horas, F satisface la restricción para la primera máquina. Asimismo, se requieren 14 horas de uso de la segunda máquina y puesto que es menor que el total disponible de 16 horas, F también satisface la restricción para la segunda máquina. Finalmente, tanto X1 (que vale 5) como X2 (que vale 4) son positivos, satisfaciendo la restricción de no negatividad. Puesto que la soluciónrepresentada por F no viola ninguna restricción, es un punto factible. La región sombreada ACDE es el conjunto de puntos que son factibles bajo todas las restricciones, y se le conoce como región factible.

c) ¿Cuántas unidades de producto A y B se deben producir?
El objetivo es encontrar el punto o puntos en la región factible ACDE que maximicen las utilidades.

El punto óptimo siempre estará enuna esquina (o vértice) de la región factible.
Los cuatro puntos esquina de la región factible son: A, C, D y E. Uno de ellos debe ser la solución óptima el problema de programación lineal.

Para ver intuitivamente porqué la solución óptima siempre estará en un punto esquina de la región factible, se trazan un conjunto de funciones de utilidad, que son líneas que contienen todas lascombinaciones de X1 y X2 que representan una cantidad constante de utilidad.

Considérese la función de utilidad para P = 42. La ecuación de esta recta es:
P = 6X1 + 7X2 = 42
Esta línea contiene muchos puntos factibles (dentro de ACDE), los cuales al sustituirlos en la ecuación de la función de utilidad anterior, siempre darán $42 de utilidad. Pero la línea P = 54 es mejor que P = 42, puesto que...