Teoria General De Sistemas

Definición
El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relación:
[pic]
El segmento menor es b. El cociente [pic] es el valor del número áureo: φ.
Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre el mayor, obtengamos el mismoresultado que al dividir la longitud del mayor entre la del menor.

Cálculo del valor del número áureo
Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:
[pic]
Si al número menor (b) le asignamos el valor 1, la igualdad será:
[pic]
multiplicando ambos miembros por a, obtenemos:
[pic]
Igualamos a cero:
[pic]
La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:
[pic]
que esel valor del número áureo, equivalente a la relación [pic].


Método de la Bisección
 
Se basa en el teorema de cálculo denominado: Teorema del Valor Intermedio, el cual expresa que toda función continua en un intervalo cerrado, una vez que alcanzó ciertos valores en los extremos el intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios. Consiste en:
 
Sea F(x) continua:
 
1.-Encontrar los valores iniciales C, tales que f (xa) y f (xb) tienen signos opuestos, es decir:
 
f (xa) . f (xb) < 0
 
2.- La primera aproximación de la raíz se toma igual al punto medio entre Xa y  Xb, así:
 
Xg  =  (Xa +  Xb) / 2
 
3.- Evaluar f (xg), luego se podrían presentar los siguientes casos:
 
 
f (xa) . f (xg) < 0
 
En este caso tenemos que f (xa) y  f (xg) tienen signosopuestos y por lo tanto, la raíz se encuantra en el intervalo [Xa ,  Xg]
 
 
f (xa) . f (xg) > 0
 
 
En este caso tenemos que f (xa) y  f (xg) tienen el mismo signo, de allí que
 f (xg)  y   f (xb) tienen signos opuestos, por lo que se deduce que la raíz se encuentra en el intervalo [Xg ,  Xb]
 
 
f (xa) . f (xg) = 0
 
 
En este caso tenemos que f (xg) = 0, lo que significa que ya seencontró la raíz, el proceso se vuelve a repetir hasta que error calculado sea menor a la cuota prefijada.
 
El error se calcula de la siguiente manera:
 
Error = [ (Xactual - Xprevia ) /  Xactual  ] * 100
 
Todo esto esto en valor absoluto

Newton Raphson
 
El método de Newton (conocido también como el método de Newton Raphson o el método de Newton-Fourier) Es un método de optimizacióniterativo, es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.
 
La idea de este método es la siguiente: se comienza con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque), entonces se reemplaza la función por larecta tangente en ese valor, se iguala a cero y se despeja (fácilmente, por ser una ecuación lineal). Este cero será, generalmente, una aproximación mejor a la raíz de la función. Luego, se aplican tantas iteraciones como se deseen.
Supóngase f : [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n
 Xn+1 = Xn -  ( f ( Xn) / f ´ ( Xn) )
                   
Donde f ' denota la derivada de f.
 

Estimación del Error

 
Se puede demostrar que el método de Newton-Raphson tiene convergencia quadrática: si α es raíz, entonces:
 
E = ( Xk+1- Xk) / (Xk+1)
 
Todo esto, en valor absoluto; se para el proceso iterativo cuando este error relativo aproximadamente es menor que una cantidad fijadapreviamente
 
Así pues,
 
X1 = X0 - ( f (X0) / f ´ (X0) )
 
 
X2 = X1 - ( f (X1) / f ´ (X1) )
 
 
X3 = X2 - ( f (X2) / f ´ (X2) )
 
Hasta encontrar el valor de las raíces que cumplen con la condición prefijada para el valor relativo
 
Resolver el siguiente ejercicio:
 
Dada la ecuación de Vander Walls para un gas real:
 
(P + a/V2) (V-b) = R . T

para los siguientes gases, el...