Teoria ii
Páginas: 5 (1048 palabras)
Publicado: 22 de enero de 2012
Banda de Möbius
La banda de Möbius o cinta de Möbius (pronunciado /ˈmøbiʊs/ o en español a menudo «moebius») es una superficie con una sola cara y un solo borde, o componente de contorno. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. También es una superficie reglada. Fue co-descubierta en forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y JohannBenedict Listing en 1858.
[pic]
Banda de Moebius conformada con una cinta de papel, cuyos extremos se han unido girándolos.
CONSTRUCCIÓN DE UNA BANDA DE MOEBIUS
|1º) Se recorta una tira rectangular de papel. |[pic] |
|2º) Uno de los extremos se gira 180º. |[pic]|
|3º) Los extremos libres se pegan. |[pic] |
PROPIEDADES
La banda de Möbius posee las siguientes propiedades:
[pic]
Banda de Möbius.
[pic]
▪ Tiene sólo una cara:
Si se colorea la superficie de una cinta de Möbius, comenzando por la «aparentemente» cara exterior, al final queda coloreadatoda la cinta, por tanto, sólo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior y cara exterior (véase en la imagen).
▪ Tiene sólo un borde:
Se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, apreciando que se alcanza el punto de partida habiendo recorrido "ambos" bordes; por tanto, sólo tiene un borde.
▪ Esta superficie no es orientable:
Una persona que se desliza «tumbada»sobre una banda de Möbius, mirando hacia la derecha, al dar una vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda. Si se parte con una pareja de ejes perpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida.
▪ Otras propiedades:
Si se corta una cinta de Möbius a lo largo, se obtienen dos resultadosdiferentes, según dónde se efectúe el corte. Si el corte se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta, se obtiene una banda más larga pero con dos vueltas; y si a ésta banda se la vuelve a cortar a lo largo por el centro de su ancho, se obtienen otras dos bandas entrelazadas pero con vueltas. A medida que se van cortando a lo largo de cada una, se siguen obteniendo más bandas entrelazadas.1 Si elcorte no se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta sino a cualquier otra distancia fija del borde, entonces se obtienen dos cintas entrelazadas diferentes: una idéntica a la original pero más angosta y la otra con el doble de longitud y una vuelta completa.
Este objeto se utiliza frecuentemente como ejemplo en topología.
La Topología se ocupa de aquellas propiedades de las figurasgeométricas del espacio que no varían cuando el espacio se dobla, da la vuelta, estira o deforma de alguna manera. La topología es un campo muy activo de las matemáticas modernas. De algunos de sus temas nos hemos ocupado en el pasado en estas páginas. Por ejemplo, la determinación del número mínimo de colores distintos necesarios para colorear un mapa de manera que no haya dos regiones contiguas conel mismo color. Kenneth Appel y Wolfgang Haken demostraron que era suficiente con cuatro colores, sin depender del tamaño o del número de regiones. También hemos comentado otra rama de la topología que tiene todavía muchos problemas por resolver, la teoría de nudos.
La banda de Moebius no es solo una curiosidad topológica. En 1923 ya se obtuvo una patente norteamericana para una película deesta forma, en la que podrían registrarse ambas caras. La idea se ha aplicado a cintas magnetofonías, con lo que la cinta puede funcionar el doble de tiempo que lo que estaría otra normal.
Otras patentes cubren aplicaciones diversas: cintas transportadoras que sufren igual desgaste por ambos lados, bandas abrasivas, o un filtro auto limpiante destinado a maquinas de limpieza en seco, que por...
La banda de Möbius o cinta de Möbius (pronunciado /ˈmøbiʊs/ o en español a menudo «moebius») es una superficie con una sola cara y un solo borde, o componente de contorno. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. También es una superficie reglada. Fue co-descubierta en forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y JohannBenedict Listing en 1858.
[pic]
Banda de Moebius conformada con una cinta de papel, cuyos extremos se han unido girándolos.
CONSTRUCCIÓN DE UNA BANDA DE MOEBIUS
|1º) Se recorta una tira rectangular de papel. |[pic] |
|2º) Uno de los extremos se gira 180º. |[pic]|
|3º) Los extremos libres se pegan. |[pic] |
PROPIEDADES
La banda de Möbius posee las siguientes propiedades:
[pic]
Banda de Möbius.
[pic]
▪ Tiene sólo una cara:
Si se colorea la superficie de una cinta de Möbius, comenzando por la «aparentemente» cara exterior, al final queda coloreadatoda la cinta, por tanto, sólo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior y cara exterior (véase en la imagen).
▪ Tiene sólo un borde:
Se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, apreciando que se alcanza el punto de partida habiendo recorrido "ambos" bordes; por tanto, sólo tiene un borde.
▪ Esta superficie no es orientable:
Una persona que se desliza «tumbada»sobre una banda de Möbius, mirando hacia la derecha, al dar una vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda. Si se parte con una pareja de ejes perpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida.
▪ Otras propiedades:
Si se corta una cinta de Möbius a lo largo, se obtienen dos resultadosdiferentes, según dónde se efectúe el corte. Si el corte se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta, se obtiene una banda más larga pero con dos vueltas; y si a ésta banda se la vuelve a cortar a lo largo por el centro de su ancho, se obtienen otras dos bandas entrelazadas pero con vueltas. A medida que se van cortando a lo largo de cada una, se siguen obteniendo más bandas entrelazadas.1 Si elcorte no se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta sino a cualquier otra distancia fija del borde, entonces se obtienen dos cintas entrelazadas diferentes: una idéntica a la original pero más angosta y la otra con el doble de longitud y una vuelta completa.
Este objeto se utiliza frecuentemente como ejemplo en topología.
La Topología se ocupa de aquellas propiedades de las figurasgeométricas del espacio que no varían cuando el espacio se dobla, da la vuelta, estira o deforma de alguna manera. La topología es un campo muy activo de las matemáticas modernas. De algunos de sus temas nos hemos ocupado en el pasado en estas páginas. Por ejemplo, la determinación del número mínimo de colores distintos necesarios para colorear un mapa de manera que no haya dos regiones contiguas conel mismo color. Kenneth Appel y Wolfgang Haken demostraron que era suficiente con cuatro colores, sin depender del tamaño o del número de regiones. También hemos comentado otra rama de la topología que tiene todavía muchos problemas por resolver, la teoría de nudos.
La banda de Moebius no es solo una curiosidad topológica. En 1923 ya se obtuvo una patente norteamericana para una película deesta forma, en la que podrían registrarse ambas caras. La idea se ha aplicado a cintas magnetofonías, con lo que la cinta puede funcionar el doble de tiempo que lo que estaría otra normal.
Otras patentes cubren aplicaciones diversas: cintas transportadoras que sufren igual desgaste por ambos lados, bandas abrasivas, o un filtro auto limpiante destinado a maquinas de limpieza en seco, que por...
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