Teoria_inecuaciones_cideac

Inecuaciones
Antes de empezar

Para ponerte en situación
Las inecuaciones se utilizan con
frecuencia para resolver problemas de
mezclas. Aquí se te plantea un
problema para que vayas investigando
por tu cuenta. En el capítulo 4
encontrarás la solución si no has
conseguido hallarla tú solo.
Un vinatero dispone en su almacén de
dos tipos de vino: uno a 4€ el litro y
otro a 7€ el litro. Quieremezclarlos
para llenar un tonel de 500 litros de
capacidad y quiere que la mezcla no
cueste más de 6€ ni menos de 5€ el
litro. Averigua entre qué valores debe
estar la cantidad de litros del primer
tipo de vino para que el precio final esté
en el intervalo deseado.

Las imágenes adjuntas te presentan dos
situaciones próximas a la solución del
problema. Usa la calculadora para
intentar aproximar más losresultados al
valor real de la solución.

MATEMÁTICAS B „

73

Inecuaciones
1. Inecuaciones de primer grado
con una incógnita
Definiciones
Una desigualdad es cualquier expresión en la que se
utilice alguno de los siguientes símbolos:
< (menor que), > (mayor que)
≤ (menor o igual que), ≥ (mayor o igual que)
Por ejemplo:
2<3 (dos es menor que 3)
7>π (siete es mayor que pi)
x≤5 (x es menor o igualque 5)
Una inecuación es una desigualdad entre
expresiones algebraicas. Aquí estudiamos sólo las de
primer grado.

Una inecuación de primer grado es una
inecuación en la que sus dos miembros son
polinomios de grado menor o igual a 1.
Las soluciones de una inecuación son todos los
números reales que hacen que dicha inecuación sea
cierta.

Inecuaciones equivalentes
El proceso de resolución deinecuaciones que veremos
después se basa (igual que en el caso de las
ecuaciones) en la transformación de la inecuación
inicial en otra equivalente más sencilla.
Se dice que dos inecuaciones son equivalentes si
tienen el mismo conjunto de soluciones.

9 Si a los dos miembros de una inecuación se les

suma o resta la misma cantidad, se obtiene una
inecuación equivalente.

9 Si se multiplican o dividenlos dos miembros de
una inecuación por una misma cantidad, se
obtiene una inecuación equivalente con el mismo
sentido de la desigualdad, si esa cantidad es
positiva, y con el sentido contrario si esa cantidad
es negativa.

74

„ MATEMÁTICAS B

Inecuaciones
Resolución
Este proceso consiste en ir transformando la
inecuación inicial en otras equivalentes más simples
hasta que el resultado final sea dealguno de los
siguientes tipos:

o hasta que el resultado final sea contradictorio, en
cuyo caso, la inecuación no tiene soluciones.
EJEMPLO:

x+2 ≤ 1

Restamos 2 a los dos miembros y queda:

x ≤ -1

El conjunto de soluciones se representa de cualquiera de las
siguientes maneras:
a) Como conjunto: {x ∈ IR / x ≤ -1}

b) Como intervalo: (−∞, − 1]
c)

⎧x < 2
⎨
⎩x < 4

⇒

x ∈ (−∞,2)
x ∈ (−∞,4)

Enforma gráfica:

Sistemas de inecuaciones

Soluciones del sistema: x ∈ (−∞,2)

Un sistema de inecuaciones de primer grado es
un conjunto de dos o más inecuaciones de primer
grado.

⎧x ≤ 9
⎨
⎩x > 4

x ∈ (−∞, 9]
⇒
x ∈ (4,+∞)

Soluciones del sistema: x ∈ (4, 9

]

Para resolver un sistema de inecuaciones con una
incógnita se resuelve cada inecuación por separado.
Las soluciones del sistema las formantodos los
números reales que satisfagan todas y cada una de
las inecuaciones del sistema.
Cada inecuación del sistema debe resolverse de forma
independiente hasta que quede en alguna de las
formas siguientes:

⎧x ≤ −5
⎨
⎩x ≥ 4

⇒

x ∈ (−∞, − 5]
x ∈ [4,+∞)

Soluciones del sistema: No tiene

En el margen puedes ver algunos ejemplos de
resolución de sistemas de inecuaciones de primer
grado con unaincógnita.

MATEMÁTICAS B „

75

Inecuaciones
EJERCICIOS resueltos
1. En cada caso indica cuál de las inecuaciones, I, II, III, IV es equivalente a la dada:
a) Dada la inecuación −4x ≤ − 3x − 5 , indica cuál de las siguientes inecuaciones es
equivalente a ella: I) −x ≥ − 5 II) x ≤ − 5
III) x ≤ 5 IV) −x ≤ − 5
b) Dada la inecuación −9x ≤ 6 , indica cuál de las siguientes inecuaciones es
equivalente a...