Teoria juegos

INTRODUCCIÓN

Voy a realizar un trabajo de teoría de juegos, en el que realizaré ejemplos sobre los distintos casos que voy a ver.
Son modelos de situaciones conflictivas en las que se trata de elegir la opción óptima para cada jugador.

La técnica para el análisis de estas situaciones fue puesta a  punto por un matemático, John von Neumann. A comienzos de la década de  1940 trabajó con eleconomista Oskar Morgenstern en las aplicaciones económicas de esa teoría. El  libro  que publicaron en 1944, "Theory of Games and Economic Behavior", abrió un insospechadamente amplio campo de estudio en el que actualmente trabajan miles de especialistas de todo el mundo

Sobre este tema se han escrito muchos libros y se ha investigado mucho, por lo que me voy a centrar en el desarrollo de unaparte: los juegos de dos personas con suma cero.

El desarrollo de este trabajo sigue la siguiente estructura:

- FORMULACIÓN DE JUEGOS DE DOS PERSONAS Y SUMA CERO.
- SOLUCIÓN DE JUEGOS SENCILLOS
• Estrategias de seguridad maximin y mínimas
• Puntos de silla
- SOLUCIÓN DE JUEGOS CON ESTRATEGIAS MIXTAS
• Solución de juegos con programación lineal• Ejercicio del cobro de un anticipo

TEORIA DE JUEGOS

FORMULACIÓN DE JUEGOS DE DOS PERSONAS Y SUMA CERO

Siguiendo el ejemplo del juego de “pares y nones” vamos a ver las características de los juegos de dos personas con suma cero.
Suponemos que el jugador 1 elige pares y el jugador 2 por tanto elige nones.
Los dos jugadores sacan al mismo tiempo uno o dos dedos y si la suma totalde ambos jugadores es par gana el jugador 1. Por el contrario, si es impar gana el jugador 2.
Cada jugador tiene 2 estrategias posibles:
- Mostrar un dedo
- Mostrar 2 dedos
Si suponemos que cada jugador se está jugando una unidad monetaria podemos realizar la siguiente matriz de pagos:

Matriz de pagos para el juego de pares y nones
| | |JUGADOR1|
| |ESTRATEGIA |1 |2 |
|JUGADOR2 |1 |1 |-1 |
|  |2 |-1 |1 |

Cada jugador conoce las estrategias de las que dispone y las de su contrincante así como la matriz de pagos.
Por lo general la matrizde pagos muestra la ganancia (positiva o negativa) para el jugador 1, que resultaría con cada combinación de estrategias para los dos jugadores. La matriz del jugador 2 es el negativo de ésta, debido a la naturaleza de suma cero del juego.
La utilidad no es necesariamente proporcional a la cantidad de dinero (o cualquier otro bien) cuando se manejan cantidades grandes. Por ejemplo, 2 millones dedólares (después de impuestos) pueden tener un valor mucho menor que “el doble” del valor que representa 1 millón de dólares para una persona pobre. De esta manera si una persona puede elegir entre:

1. Recibir, con el 50% de posibilidades, 2 millones de dólares en lugar de nada
2. Recibir 1 millón con seguridad

Una persona pobre tal vez elija la segunda. Debemos saber que el resultadoque corresponde a un elemento con valor 2 en una matriz de pagos debe valer el doble para el jugador 1 que el resultado correspondiente a un elemento de 1. por lo tanto, dada la elección, debe serle indiferente un 50% de posibilidades de recibir el primer resultado, en lugar de nada, y recibir el último resultado.

La teoría de juegos desarrolla criterios racionales para seleccionar unaestrategia que implican dos suposiciones importantes:
- Ambos jugadores son racionales
- Ambos jugadores eligen sus estrategias pensando en su propio bienestar, sin compasión para el oponente.

SOLUCIÓN DE JUEGOS SENCILLOS

Ahora vamos a suponer dos compañías de autobuses, A y B, que explotan la misma ruta entre dos ciudades y están enfrentadas en una lucha por una mayor parte del...