teoria mates tema 10

TEMA 10 – FUNCIONES ELEMENTALES – MATEMÁTICAS I – 1º Bach.

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TEMA 10 - FUNCIONES ELEMENTALES
10.1 – CONCEPTO DE FUNCIÓN
DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x ∈ Dom, le hace corresponder
un único número real, f(x):
Lo denotamos por : f : Dom -----> R
x -----> y = f(x)
El conjunto Dom de los valores que puede tomar la variable independiente, “x”, se llama
dominio dedefinición de la función.
El conjunto de los valores que toma la función se llama recorrido.
Puesto que tanto la variable “x” como la función “f(x)” toman valores reales, estas funciones
se llaman funciones reales de variable real.
RAZONES POR LAS QUE EL DOMINO DE DEFINICIÓN PUEDE RESTRINGIRSE :
- Imposible de realizar alguna operación con ciertos valores de x: denominadores que se anulan,
raícescuadradas de números negativos,....
- Contexto real del que se ha extraído la función: Edad de una persona,…
- Por voluntad de quien propone la función: Número menor que 7,...
CÁLCULO DEL DOMINIO :
• FUNCIONES POLINÓMICAS: El dominio de un polinomio es todo R : f (x) = P(x) D(f) = R
• FUNCIONES RACIONALES: El dominio de las funciones racionales es todo R menos los
puntos donde se anula eldenominador:
f (x) = P(x) / Q(x)
D(f) = { x ∈ R / Q(x) ≠ 0} = R - { x ∈ R / Q(x) = 0}
• FUNCIONES RADICALES
f(x) = n P( x) Si n es impar D(f) = R
Si n es par D(f) = { x ∈ R / P(x) ≥ 0} = R - {x ∈ R / P(x) < 0}
•

FUNCIONES EXPONENCIALES
f(x) = aP(x)
D(f) = R

•

FUNCIONES LOGARÍTMICAS
f(x) = loga P(x)
D(f) = { x ∈ R / P(x) > 0} = R - {x ∈ R / P(x) ≤ 0}

•

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
f1(x) = sen P(x), f2(x) =cos P(x)
D(f1) = D(f2) = R

El resto (tangente, secante,….) ponerlas como cociente y estudiar su dominio como una
función racional (denominador diferente de cero).

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4.2 – REPRESENTACIÓN Y ESTUDIO DE FUNCIONES
FUNCIONES POLINÓMICAS
• Grado 0: y = k

Rectas paralelas al eje OX

• Grado 1 : y = mx + n

Rectas

La función polinómica deprimer grado o función lineal: y = mx + n, se representa mediante una
recta de pendiente m y que pasa por el punto (0,n). La n se llama ordenada en el origen.
Pendiente de una recta es la variación (aumento o disminución) que se produce en la y cuando la x
aumenta una unidad. En una ecuación lineal, la pendiente de la recta es el coeficiente de la x cuando
se despeja la y. (Si m > 0, es creciente;Si m < 0, es decreciente)
Si conocemos las coordenadas de dos puntos de la recta: P(x1,y1), Q(x2,y2) la pendiente se calcula :
∆y y 2 − y1
m=
=
( ∆y = Incremento de “y” entre ∆x = Incremento de “x”)
∆x x 2 − x 1
Si de una recta conocemos un punto P(x1,y1) y su pendiente m, la ecuación de la recta es:
y – y1 = m.(x – x1)
Para representarla se dan dos valores cualesquiera a la “x” y se calcula elvalor de la “y”.
Interpolación y extrapolación lineal
Si sabemos que una función es lineal (al menos aproximadamente) y que pasa por dos puntos
A(x1,y1), B(x2,y2) podemos hallar su valor en cualquier otro punto x = x3
1. Hallamos la ecuación de la función lineal que pasa por los puntos A y B ⇒
y = mx + n
2. Sustituimos el valor de x3 en x y calculamos la y.
Si x3 ∈ (x1,x2) estamos interpolando.
Si x3∈ (-∞,x1) ∪ (x2,+∞) estamos extrapolando.
En la extrapolación, cuanto más alejado esté x3 del intervalo (x1,x2), menos fiable es el valor que
obtenemos para f(x3).

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• Grado 2: FUNCIONES CUADRÁTICAS

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Parábolas

Las funciones polinómicas de segundo grado o funciones cuadráticas : y = ax2 + bx + c, a ≠ 0, se
representan medianteparábolas.
-

-

Tienen ejes paralelos al eje Y
Las formas de estas parábolas (que sus ramas estén hacia
arriba o hacia abajo, que sean más o menos anchas,...)
dependen, exclusivamente del valor de a:
- Si a > 0, las ramas van hacia arriba (Cónvexa)
- Si a < 0, las ramas van hacia abajo (Cóncava)
- Cuando mayor sea |a|, más estilizada es la parábola
b
La abscisa del vértice de la parábola es : Vx = 2a...