teoria matrices

MATRICES


Matrices de números reales.

Dados dos subconjuntos A = {1,2,3,...i...n} y B = {1,2,3,...j...m} pertenecientes al conjunto de los números naturales, llamaremos matriz de dimensión nxm a toda aplicación

A X B ---------> R / (i,j) ---> aij que asocia a cada par (i,j) el numero real aij

Definimos matriz real de elementos pertenecientes a R y dedimensión n filas por m columnas, aquel conjunto de números reales escritos de la forma siguiente:

En forma simplificada A = ( aij )nxm y se le denomina matriz nxm

Ejemplos:




Ejemplo: Escribir una matriz A3x4 tal que aij = 2i + 3j

a11 = 2.1 + 3.1 = 5 a12 = 2.1 + 3.2 = 8 a13 = 2.1 + 3.3 = 11
a14 = 2.1 + 3.4 = 14 a21 = 2.2 + 3.1 = 7a22 = 2.2 + 3.2 = 10
a23 = 2.2 + 3.3 = 13 a24 = 2.2 + 3.4 = 16 a31 = 2.3 + 3.1 = 9
a32 = 2.3 + 3.2 = 12 a33 = 2.3 + 3.3 = 15 a34 = 2.3 + 3.4 = 18

es decir

Matriz rectangular.- Es aquella en la que no coinciden el numero de filas con el de columnas. Se escribe Anxm donde n  m.

Matriz fila es la que tiene por dimensiones 1xm

Matriz columna es la quetiene por dimensiones nx1

Matriz cuadrada.- es aquella en el que el numero de filas y de columnas coinciden. Se escribe Anxn y diremos que son de orden n.
En una matriz cuadrada llamaremos diagonal principal a los elementos que van desde el vértice superior izquierdo al vértice inferior derecho y serán todos los aij / i=j

En una matriz cuadrada llamaremos diagonal secundaria a loselementos que van desde el vértice superior derecho al vértice inferior izquierdo y serán todos los aij / i+j = n+1 donde n es el numero de filas o columnas.

Matriz nula.- Es aquella matriz que tiene todos sus elementos iguales a 0.
Puede ser cuadrada o no.
Se representa por Onxm y es tal que aij = 0  i,j

Matriz diagonal.- Es toda matriz cuadrada enla que todos sus elementos son nulos excepto los de la diagonal principal que pueden ser ceros o no.



Matriz escalar.- es toda matriz cuadrada y diagonal que tiene todos los elementos de la diagonal principal iguales.

 k  0

Matriz unidad.- Es toda matriz cuadrada, diagonal y escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.aij = 0 si i  j
Se representa por I y sus aij son tales que
aij = 1 si i = j



Matriz simétrica.- Es toda matriz cuadrada en la que coincide sus elementos conjugados, es decir, aij = aji  i y  j. Esto quiere decir que todos los elementos sonsimétricos respecto de la diagonal principal.

y son matrices simétricas

El producto de dos matrices simétricas no tiene porque ser simétrica.
Matriz antisimetrica.- Es toda matriz cuadrada en la que aij = - aji  i  j y que solo se verificara cuando todos los elementos de la diagonal principal sean ceros.

y son matrices antisimetricas.

El producto de dos matricesantisimetricas no tiene porque ser antisimetrica.

Matriz triangular.- Es toda matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos situados por debajo o por encima de la diagonal principal.
es triangular inferior. es triangular superior.


Operaciones con matrices.


Suma de matrices

Dadas dos matrices A y B de igual orden nxm, llamaremos matriz suma a otra matriz deigual dimensión nxm y cuyos elementos se obtengan sumando los elementos homólogos de A y de B.

cij = aij + bij



Propiedades:

La suma de matrices es ley de composición interna.

Asociativa:  A,B,C  Mnxm ==> A + (B + C) = (A + B) + C

Conmutativa:  A,B  Mnxm ==> A + B = B + A

 elemento neutro: Será la matriz nula Onxm / A + O = O + A = A

...