Teoria probabilidad

Técnicas de conteo

Regla de la Suma

Supongamos que un evento A puede ocurrir de m formas diferentes y un segundo evento B puede ocurrir de n formas diferentes. Además, suponga que A y B son mutuamente excluyentes, entonces A o B pueden ocurrir de m + n formas diferentes

Regla del Producto

Dados k conjuntos A1, A2 , . . . , Ak tal que A1 contiene n1 elementos, A2 contiene n2, . . ., Ak contiene nk elementos, entonces existen maneras diferentes de elegir primero un elemento de A1, después un elemento de A2, . . ., y finalmente un elemento de Ak.

Ejemplo # 8
En una compañía se tiene 12 contadores, 3 informáticos, 2 abogados y 6 estadísticos. Si se desea elegir un profesional de cada disciplina, ¿de cuántas maneras es posible realizar dicha elección?

Solución
Si setiene 12 contadores, 3 informáticos, 2 abogados y 6 estadísticos entonces existen maneras distintas para seleccionar un profesional de cada grupo.

Ejemplo # 9
Se desea remodelar una casa, para lo cual se necesitan un ebanista, un electricista y un albañil. En el pueblo existen 12 albañiles, 9 electricistas y 5 ebanistas, ¿de cuantas formas diferentes se pueden seleccionar a los tresempleados?

Solución
Si se tiene 12 albañiles, 9 electricistas, y 5 ebanistas entonces existen maneras distintas para seleccionar a los tres empleados.

Ejemplo # 10
En una Universidad el primer bloque de la carrera de Administración está compuesto por tres cursos (Administración I, Contabilidad I y Matemática I) si en este semestre se ofrecen 3 grupos diferentes de Administración I, 4 gruposdiferentes de Contabilidad I y 5 grupos diferentes de Matemática I.
a) De cuantas formas diferentes se puede escoger un único curso.
b) De cuantas formas diferentes se puede escoger un grupo de cada materia.

Solución
a) Si se tiene 3 grupos de Administración I, 4 grupos de Contabilidad I y 4 grupos de Matemática I entonces existen 3 + 4 + 4 = 11 formas distintas de escoger un solo curso
b)Si se tiene 3 grupos de Administración I, 4 grupos de Contabilidad I y 4 grupos de Matemática I entonces existen maneras distintas para escoger un grupo de cada materia.
Permutaciones
Se llama permutación de tamaño k, (k ≤ n), a cualquier secuencia ordenada de k objetos tomados de un conjunto formado por n elementos distintos.

El número de permutaciones de tamaño k que pueden construirsea partir de un conjunto de n objetos distintos (k ≤ n) se denota por P(n, k), n P k, P n, k , P

Teorema 5
El número de permutaciones de n objetos tomados de un conjunto de n objetos distintos es n!

Ejemplo # 11
Si A = {a, b, c}, ¿cuántas palabras diferentes puede formarse con estas tres letras?

Solución
Se desea determinar el número de palabras que pueden crearse con estas tresletras, por tanto, este número de palabras viene dado por 3! = 6

Ejemplo # 12
Si una carrera quiere ser llevada a cabo entre cuatro ciudades, ¿de cuántas formas distintas puede realizarse dicha carrera?

Solución
En este caso la carrera puede llevarse a cabo de 4! formas distintas, es decir 4! = 24

Teorema 6
El número de permutaciones de tamaño k que pueden construirse a partir de unconjunto de n objetos distintos (k ≤ n) viene dado por
n P k = = n (n – 1) (n – 2) … (n – k + 1)

Ejemplo # 13
Una empresa desea escoger 4 miembros para su junta directiva. Si se cuenta con 8 candidatos, ¿de cuántas formas distintas se pueden escoger los cuatros miembros si el orden de selección es importante?

Solución
Se debe escoger 4 personas de un total de 8. Así
8 P 4 = = 8(8 – 1) (8 – 2) (8 – 4 + 1) = 1680
Por tanto, existen 1680 formas distintas de escoger los 4 miembros si el orden de selección es considerado importante.

Ejemplo # 14
Suponga que existen 10 asistentes para calificar exámenes en un curso particular. Si se tiene un examen de 6 preguntas y se quiere que cada pregunta sea calificada por un estudiante distinto, de cuántas formas distintas puede...