teoria programacion lineal














1. PROGRAMACIÓN LINEAL


1. 1 CONSTRUCCIÓN DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL (PL)

Veamos cómo vamos construyendo un modelo de programación lineal, paso por paso.
Para ello tomemos el siguiente ejemplo:

LA COMPAÑÍA REDDY MIKKS.
Reddy Mikks produce pinturas tanto para interiores como para exteriores, a partir de dos materias primas, M1 y M2. La siguiente tablaproporciona los datos básicos del problema:


Toneladas de materia prima por tonelada de

Pintura para Exteriores
Pintura para Interiores
Disponibilidad
Máxima diaria
(toneladas)
Materia prima M1
6
4
24
Materia prima M2
1
2
6
Utilidad por tonelada
(1000 dólares)
5
4




Una encuesta de mercado restringe la demanda máxima diaria de pintura para interiores a 2 toneladas.Además, la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a la pintura para exteriores por más de 1 tonelada. Reddy Mikks quiere determinar la mezcla de producto óptimo de pinturas para interiores y exteriores que maximice la utilidad total diaria.

1.2 CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Como la programación lineal hace parte de la I.O., tiene que cumplir conlos puntos para desarrollar un modelo de I.O.; que son los siguientes:
1. Lo primero que hay que establecer son las variables de decisión.
2. Definir el objetivo o meta a alcanzar.
3. Establecer las restricciones que debe cumplir; de acuerdo a las exigencias de un mercado.

Para el caso de la compañía de pinturas, se plantea el modelo de la siguiente manera.
1. Las variables de decisión lasestablecemos así:
X1= Toneladas diarias producidas de pintura para exteriores.
X2= Toneladas diarias producidas de pintura para exteriores.

2. La meta que se requiere la definimos de la forma siguiente:
Z=5X1+4X2
Esta es la función que se define de acuerdo a las condiciones que se tienen para desarrollar las necesidades de la compañía de pinturas; pero el objetivo es la maximización, esdecir:

Maximizar Z=5X1+4X2

3. Las restricciones para este caso se plantean teniendo en cuenta las disponibilidades de materia prima y las condiciones del mercado, de la forma siguiente:
Sujeto a:

6X1+4X2≤ 24
X1+2X2≤ 6
-X1+X2≤ 1
X2≤ 2
X1; X2 ≥ 0

El modelo en forma completa para el caso de la compañía productora de pinturas, se presenta de la manerasiguiente:

Maximizar Z=5X1+4X2

Sujeto a:

6X1+4X2≤ 24
X1+2X2≤ 6
-X1+X2≤ 1
X2≤ 2
X1; X2≥ 0




Lo que se pretende es establecer el espacio de soluciones factibles y de estas seleccionar la solución factible optima; por esto se llama solución factible óptima. Es importante tener en cuenta que siempreexistirán infinitas soluciones factibles y en estas se encuentra la óptima; que es una sola.
Cualquier solución es factible si cumple con todas y cada una de las restricciones, por ejemplo, si X1=3 y X2=1 toneladas de pintura, es factible porque cumple con todas las restricciones, incluyendo la de no negatividad.
Para comprobar esto sustituimos los valores de las variables en cada una de lasrestricciones, así:
6(3) + 4(1) ≤ 24; 22 ≤ 24
(3) + 2(1) ≤ 6; 5≤6
-(3) + (1) ≤ 1; -2 ≤ 1
(1) ≤ 2; 1≤ 2
(X1= 3); (X2 =1) ≥ 0

En la programación lineal todas las ecuaciones o funcionesdeben ser lineales y para cumplir con esto se requiere de dos condiciones:
1. Proporcionalidad; se requiere que la contribución de las variables de decisión sean proporcionales a su valor tanto en la fusión objetivo, como en las restricciones. Cualquier condición que aleje a las variables de decisión, como son por ejemplo las promociones, no se generan ecuaciones lineales; debido a que a...