Teoria renovacion

Teoría de La Renovación

Un proceso de renovación es una sucesión infinita de variables aleatorias T1, T2,. . . que son no negativas, independientes e idénticamente distribuidas.

Dado un proceso de renovación {T1, T2,. . .}, se definen los tiempos reales de renovación como W0 = 0 y Wn = T1+· · ·+Tn, para n ≥ 1. El proceso de conteo de renovaciones es Nt = máx {n ≥ 0: Wn ≤ t}, paracada t ≥ 0.

La variable aleatoria Wn representa el tiempo real en el que se realiza la n-ésima renovación, mientras que Nt indica el número de renovaciones realizadas hasta el tiempo t. En la literatura se le denomina proceso de renovación a cualquiera de los procesos {Tn : n = 1, 2, . . .}, {Wn : n = 0, 1, . . .}, o {Nt : t ≥ 0}, pues por construcción existe una correspondencia biunívocaentre cualesquiera dos de estos tres procesos.

Ecuación de Renovación

La función de renovación [pic](t) satisface la ecuación

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Sean F(t), g(t) y h(t) funciones definidas para t ≥ 0. Suponga que F(t) y h(t) son conocidas, y g(t) es desconocida. Se dice que g(t) satisface una ecuación de renovación si cumple la ecuación integral

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Proceso Transitorio

Se diceque el proceso markoviano tiene probabilidades de transición estacionarias o que es homogéneo en el tiempo si P(x, t0;E,t) depende solo de la diferencia t – t0.

Probabilidades de transición. Para una cadena de Markov a tiempo continuo las probabilidades de transición son los números pij (t) = P(Xt = j |X0 = i), para cualesquiera estados i y j, y para cualquier tiempo t ≥ 0. Cuando el espaciode estados es finito, los elementos de cada renglón de esta matriz suman uno, pero para espacios de estados infinito esta suma puede ser estrictamente menor a uno, es decir, en general, Pj pij (t) ≤ 1.

Esta es una diferencia inesperada respecto del modelo a tiempo discreto.

Intentar encontrar Pij(t) para cada par de estados i y j, y para cada t ≥ 0, es un problema demasiadogeneral, y solo en algunos casos es posible encontrar explícitamente tales probabilidades. El siguiente resultado nos permitiría obtener algunas conclusiones generales acerca de Pij(t).

Proposición: Sean i y j dos estados. Para cualquier t ≥ 0,
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Demostración. Si i es un estado absorbente, i.e. λi = 0, entonces la fórmula se reduce a pij(t) = δij , lo cual es correcto. Si i es unestado no absorbente, entonces:

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en donde por la propiedad de Markov y la independencia:

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Por lo tanto:
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Distribución para procesos de Renovación

Debemos recordad que el numero de renovaciones en un tiempo t es mayor o igual a n si y solo si la enésima renovación ocurre en o antes del tiempo t, para así obtener la distribución de un proceso derenovación.

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Ya que cada tiempo de llegada tiene la misma distribución, podemos decir:
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Si sustituimos
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Límite para Proceso de Renovación.

Cuando la probabilidad es 1, N(t) tiende a infinito cuando t tiende a infinito. Por lo tanto, si la probabilidad es 1:

N(t) 1

t µ

a medida que t ∞. Donde 1/ µ es la tasade renovación.

Generalización de los Procesos de Renovación.

Es una generalización del Proceso de Poisson. Esencialmente, el proceso de Poisson es un proceso de Markov del continuo-tiempo en los números enteros positivos (que empiezan generalmente cero) que tiene la independiente distribuyó idénticamente llevar a cabo épocas en cada número entero i (exponencial distribuido) antes deavanzar (con la probabilidad 1) al número entero siguiente: i + 1. En el mismo alcohol informal, podemos definir un proceso de la renovación para ser la misma cosa, salvo que los tiempos que sostienen adquieren una distribución más general. (Nota sin embargo que IID la característica de los tiempos que sostienen se conserva).

Procesos De Ramificación En Tiempo Continuo
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