teoria sobre la aplicacion de las derivadas

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL TÁCHIRA
VICERRECTORADO ACADÉMICO
DECANATO DE DOCENCIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA
ASIGNATURA MATEMÁTICA I. (Código 0826101 )
LAPSO ACADÉMICO 2012-2

UNIDAD 4
APLICACIONES DE LA DERIVADA

Elaborado por:
Profa. Jeraldyne Moncada.
Prof. Leonardo Pérez
Material didáctico en revisión

San Cristóbal, septiembre 2013

4. APLICACIONES DE LADERIVADA
En la unidad 4 se plantearon y aplicaron reglas con la finalidad de desarrollar
actividades operativas para calcular de manera rápida y eficiente derivadas de funciones
algebraicas y trascendentes presentadas de manera implícita o explícita. Además, cuando se
introdujo la definición de derivada se hizo a través del problema de la recta tangente a una
curva en un punto, consideradacomo la primera interpretación geométrica que se le da a la
derivada. En la unidad que se desarrollará a continuación se mostrará otras aplicaciones
geométricas y físicas de la derivada.
Se planteará que la derivada también sirve para determinar el ritmo de cambio de
una variable con respecto a otra en un instante, lo que le confiere utilidad en una amplia
variedad de situaciones, entre las quese pueden mencionar: ritmos de crecimiento de
población, ritmos de producción, flujo de un líquido, movimientos horizontales o verticales
(velocidad, aceleración). Aunado a ello se presentan problemas de optimización, los cuales
consisten en determinar los valores máximos y mínimos de una función.
Por otra parte, se presentará una regla practica para calcular límites que producen
formasindeterminadas

0
∞
y
haciendo uso del Cálculo Diferencial. Dicha regla recibe el
0
∞

ˆ
nombre de regla de L`Hopital .
Finalmente, se presenta un resumen sobre los lineamientos, para hacer el análisis y
trazar la grafica de una función, basados en criterios de derivación.

4.1 RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL.
La idea principal con la que se desarrollará esta sección es: “El valor de laderivada
en cualquier punto de una curva representa la pendiente de la recta tangente a la curva en
dicho punto”
4.1.1. Recta tangente:
Sea f una función derivable en c . La ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f en el punto P ( c, f ( c ) ) es:

y − f ( c ) = mt ( x − c ) donde mt = f ′ ( c ) .

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4.1.2. Recta normal:
Sea f una función derivable en c . La ecuación de larecta normal a la gráfica de

f en el punto P ( c, f ( c ) ) es:

y − f ( c ) = mn ( x − c ) donde mn =

1
, con mt ≠ 0
mt

ACTIVIDAD Nº 1
Resolver los ejercicios del 26 al 35 (ver material de ejercicios propuestos)

4.2 TEOREMA DE ROLLE.
Si f es una función continua en el intervalo cerrado [ a, b ] y derivable en el
intervalo abierto ( a, b ) tal que f ( a ) = f ( b ) , entoncesexiste un punto c ∈ ( a, b ) tal que

f ′(c) = 0
Geométricamente, se puede decir que si se cumplen las
condiciones del teorema de Rolle se garantiza la
existencia de un c ∈ ( a, b ) donde la recta tangente a la
curva de f es paralela al eje x , es decir, es una recta
horizontal

ACTIVIDAD Nº 2
Resolver los ejercicios del 1 al 10 (ver material de ejercicios propuestos)

4.3 TEOREMA DELVALOR INTERMEDIO ( LAGRANGE ).
Si f es una función continua en el intervalo cerrado [ a, b ] y derivable en el
intervalo abierto ( a, b ) , entonces existe un punto c ∈ ( a, b ) tal que f ′ ( c ) =

f (b) − f ( a )
b−a

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Geométricamente, se puede decir que si se cumplen las
condiciones del teorema del Valor Intermedio se
garantiza la existencia de un c ∈ ( a, b ) donde la recta
tangentea la curva de f es paralela a la recta secante a
la curva de f que pasa por los puntos ( a, f ( a ) ) y

( b, f ( b ) )
ACTIVIDAD Nº 3
Resolver los ejercicios del 11 al 25 (ver material de ejercicios propuestos)

ˆ
4.4 REGLA DE L`HOPITAL .
Si f y g son derivables en un intervalo abierto ( a, b ) que contenga a c , excepto
posiblemente en el propio c , y g ′(x ) ≠ 0 para toda x en ( a,...