teoria trigonometricas

Tema 7: Trigonometría – Matemáticas B – 4º ESO

1

TEMA 7 – TRIGONOMETRÍA
7.0 UNIDADES DE MEDIDAS DE ÁNGULOS
4º

7.0.1 GRADOS SEXAGESIMALES
Grados, minutos y segundos : 1 grado = 60 minutos, 1 minuto = 60 segundos

4º

7.0.2 GRADOS CENTESIMALES (No la utilizaremos)
Grados, minutos y segundos : 1 grado = 100 minutos, 1 minuto = 100 segundos

4º

7.0.3 RADIANES
Un radian es lamedida de un ángulo, cuyo radio coincide con el arco:

4º

7.0.4 RELACIÓN ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES
2Π radianes ⇔ 360º sexagesimales

Π rad ⇔ 180º

7.1 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO
4º

7.1.1 DEFINICIONES
Razón entre dos números o proporción entre ellos, a su cociente

4º

Sobre un ángulo agudo α, construimos un triángulo rectángulo:
B
h
A

y

α

Cx

Seno de α es la razón entre la longitud del cateto opuesto a α y la longitud de la
longitud _ del _ cateto _ opuesto _ a _ α BC y
hipotenusa: sen α =
=
=
longitud _ de _ la _ hipotenusa
AB h
Coseno de α es la razón entre la longitud del cateto contiguo a α y la longitud
longitud _ del _ cateto _ contiguo _ a _ α AC x
=
=
de la hipotenusa: cos α =
longitud _ de _ la _ hipotenusaAB h

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2

Tangente de α es la razón entre la longitud del cateto opuesto a α y la longitud
del cateto contiguo a α
longitud _ del _ cateto _ opuesto _ a _ α BC y
tagα =
=
=
longitud _ del _ cateto _ contiguo _ a _ α AC x
Cosecante de α es la razón entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del
cateto opuesto a α :
longitud _ de _la _ hipotenusa
AB h
cos ecα =
=
=
longitud _ del _ cateto _ opuesto _ a _ α BC y
Secante de α es la razón entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del
cateto contiguo a α:
longitud _ de _ la _ hipotenusa
AB h
sec α =
=
=
longitud _ del _ cateto _ contiguo _ a _ α AC x
Cotangente de α es la razón entre la longitud del cateto contiguo a α y la
longitud del cateto opuesto a α:
longitud _ del _ cateto _ contiguo _ a _ α AC x
cot agα =
=
=
longitud _ del _ cateto _ opuesto _ a _ α BC y
Estas relaciones se llaman razones trigonométricas del ángulo α
Nota: Como en un triángulo rectángulo los catetos siempre son menores que la
hipotenusa el seno y el coseno de un ángulo toman valores entre 0 y 1.
4º

7.1.2 LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEPENDEN DEL ÁNGULO
PERONO DEL TRIÁNGULO

4º

Estos dos triángulos son semejantes, por tanto las razones trigonómetricas
dependen del ángulo no del triángulo.

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3

7.2 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES
4º
4º

7.2.1 RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
•

Por las definiciones:

cosec α =
•

1
sen α

1
cos α

sec α =

cotag α =1
tagα

tag α =

sen α
cos α

Como es un triángulo rectángulo se cumple el teorema de Pitágoras:
x2 + y2 = h2

Dividiendo por x2, y2, h2 respectivamente, obtenemos
2

2

x 2 y2 h2
 y
h
+ 2 = 2 ⇒ 1 +   =   ⇒ 1 + tag2 α = sec2 α
2
x
x
x
x
x
2

2

x
h
x 2 y2 h 2
+ 2 = 2 ⇒   + 1 =   ⇒ 1 + cotag2 α = cosec2 α
2
y
y
y
y
y
 
 
2

2x 2 y2 h 2
x y
+ 2 = 2 ⇒   +   = 1 ⇒ sen2 α + cos2 α = 1
2
h
h
h
h h

4º
4º

7.2.2 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 30º, 45º Y 60º
Razones trigonométricas de 45º
La hipotenusa de este triángulo rectángulo isósceles
mide: h = 12 + 12 = 2

1

1
Por tanto:

4º

sen 45º =

1
2

=

2
2

cos 45º =

1
2

=

2
2

tag 45º = 1

Razones trigonométricas de30º y 60º

1

1

Calculamos la altura de este triángulo equilátero:
2

1
1
a = 1 −   = 1− =
4
2
2

3
3
=
4
2

1
Por tanto:

1
2
3
sen 60º =
2
sen 30º =

3
2
1
cos 60º =
2

cos 30º =

tag 30º =

3
3

tag 60º =

3

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4

7.3 UTILIZACIÓN DE LA CALCULADORA EN TRIGONOMETRÍA
4º
4º
4º
4º...