Teoria y problemas de aplicacion

TEORIA Y PROBLEMAS DE APLICACIÓN

I. INTEGRALES DOBLES:

1. Centros de Masa y Momentos de Inercia de láminas.

Sea ρ: R C R2 R es una función continua sobre R y ρ(x; y) es la medida de la densidad de área de la lamina en cualquier punto(x; y).
La masa de la lámina será:
M=Rρx;ydA

El centro de masa(X; Y) de la lámina será:
X=Rxρx;ydARρx;ydAY=Ryρx;ydARρx;ydA

Los momentos de inercia de la lámina con respecto a los ejes X e Y son:
IX = Ry2ρx;ydA IY =Rx2ρx;ydA

PROBLEMAS:

a) Calcular la masa de una placa cuadrada de lado “a”, cuya densidad en cualquier punto es proporcional al cuadrado de la distancia entre este punto y uno de los vértices del cuadrado.

Sol.

Por condiciones del problema ρ(x; y) = k(x2 + y2), y como es uncuadrado 0≤x≤a , 0≤y≤a y k es una constante.
Entonces:
M=Rρx;ydA= 0a0akx2+y2dxdy
M=k0aa33+ay2dy=23a4k

b) Hallar la masa de una lamina circular de radio A, si su densidad es proporcional a la distancia desde un punto cualquiera al origen e igual a δ en el borde de la lámina.

Sol.

Por condiciones del problema ρ(x; y) = δAx2+y2
Entonces:
M=Rρx;ydA= RδAx2+y2dxdy
Trabajando encoordenadas polares:
M=02π0rδAr2drdθ= 02πδ3A2dθ= 2πδ3A2

c) Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por la cardiode r = a (1+cosψ).

Sol.

Como no dan especificaciones de la densidad asumiremos que es constante además trabajamos directamente en coordenadas polares y por simetría.
Entonces:
X=Rxρx;ydARρx;ydA=20π0a1+cosφr2cosφdrdθ20π0a1+cosφrdrdθX=5a6 ;por simetria Y=0

d) Calcular las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por las parábolas y2 = 4x+4 e y2 =-2x+4.

Sol.

Como no dan especificaciones de la densidad asumiremos que es constante. Tenemos:
X=Rxρx;ydARρx;ydA=-22y2-424-y22xdxdy-22y2-424-y22dxdy

X= 25 ;por simetria Y=0

e) Calcular el momento de inercia del triangulo limitado por las rectasx + y = 2, x = 2 e y = 2 con respecto al eje OX.

Sol.

Como ρ(x; y) = 1, aplicamos la formula teniendo en cuenta la variación de X e Y. tenemos:
IX = Ry2ρx;ydA= 022-y2y2dxdy=4

f) Hallar el momento de inercia de un anillo circular de diámetro d y D (da alrededor de la recta x+y=0 .

Sol.

Se tiene: V=2πKA ; K es la distancia del centro del circulo a la recta x + y =0 , y A el áreade la circunferencia.
Se obtiene K = b/ (2)1/2.
Aplicamos la formula:
V=2πKA=2πb2πa2=22π2a2b

b) Usar el teorema de pappus para encontrar el centroide de un cuarto del círculo de radio “a”.

Sol.

Si consideramos la porción del circulo en el primer cuadrante este generara una semi esfera de volumen = V = 23πa3 y el área de la región es 14πa2. Además posee centroide (X; Y).
PorPappus:
V=2πYA=23πa3=2πY14πa2
De donde:
Y=4a3π , y por la simetría X=4a3π

c) Hallar el volumen del solido al girar la región limitada por las curvas y=sinx y por la recta y=2xπ , al girarlo por el eje de coordenadas “x”.

Sol.

Primero debemos hallar la coordenada Y del centroide, además ρ(x; y) = 1. Por formula tenemos:
X=Rxρx;ydARρx;ydA=0π20sinxxdxdy0π20sinxdxdy

Y=π64-π

El áreapor integración simple A =0π2sinx-2xπdx=1-π4

Aplicando Pappus.
V=2πYA=2ππ64-π1-π4=π212

II. INTEGRALES TRIPLES Y DOBLES:

1. Masa.

Sea ρ: D C R3 R es una función continua sobre D y ρ(x; y; z) es la medida de la densidad en cualquier punto(x; y; z).
La masa del solido D será:
M=Dρx;y;zdV

PROBLEMAS:

a) Hallar la masa del paralelepípedo rectangular 0≤x≤a , 0≤x≤a , 0≤x≤a sila densidad en el punto (x; y; z) es ρ(x; y; z) = x + y + z.
Sol.

Reemplazamos los datos en la formula, tenemos:
M=Dρx;y;zdV=0a0b0cx+y+zdzdydx=0a0bx+yc+c22dydx

M=0axbc+cb22+bc22dx=abc2a+b+c

b) Del octante de la esfera x2+y2+z2=c2 , se ha cortado un cuerpo limitado por los planos de coordenadas y por el plano xa+yb=1 , (a ≤ c, b ≤ c). hallar la masa de ese pequeño cuerpo si su...