Teoria

Teorema de Desargues:
Si dos triángulos situados en el mismo plano están relacionados de manera que las rectas que unen vértices homólogos pasan por un mismo punto (triángulos copolares), los ladoshomólogos se cortan en puntos de una misma recta (triángulos colineales). Recíprocamente triángulos colineales son copolares.

 La versión tridimensional del teorema, cuando los triángulos estánincluidos en planos distintos no paralelos, es sencilla. Las rectas determinadas por A y B, y por A' y B', pertenecientes al plano determinado por O, A, B, A' y B', se cortan en un punto que está situadosobre la recta r de intersección de los planos pi y pi' (se trata del punto de intersección del plano determinado por los puntos O, A, B, A', B' con la recta r). Lo mismo sucede con los otros dospares de rectas. (Si uno de los lados de los triángulos es paralelo a la recta r, la intersección de las prolongaciones de los dos lados sería el punto del infinito de la recta r, y el resultado siguesiendo válido).

Expone que: En el plano proyectivo, dos triángulos son perspectivos desde un punto si y sólo si son perspectivos desde una recta.
Demostración del teorema
Para demostrar esteteorema, considere los planos p y q secantes en la recta r. Sea AB un segmento sobre el plano q y M la intersección de la recta AB con la recta r.
Sean S y T dos puntos exteriores a dichos planos. Sean Cy D las proyecciones sobre el plano p de los puntos A y B desde el punto S y E y F las proyecciones del mismo segmento AB desde el punto T sobre el plano p.
El plano determinado por los puntos SABcorta al plano p sobre la recta CD. El punto M se encuentra sobre el dicho plano, por estar sobre la recta AB y por esta razón M se halla sobre la recta CD. Usando los mismos argumentos, peroconsiderando ahora el plano TAB, se demuestra que el punto M es común a las rectas AB y EF. Así, las rectas CD y EF se cortan en el mismo punto M sobre la recta r.
Sea O la intersección de la recta ST sobre...