Teoria

TEMA 1: NOMBRES COMPLEXOS

M`
etodes Matem`
atics I
Grau en Enginyeria Industrial - EET

ALGUNES CONSIDERACIONS PER TREBALLAR AMB MAPLE:
Al llarg del curs podreu fer servir Maple per comprovar els resultats, o fins i tot per fer alguns exercicis.
Per treballar amb nombres complexos amb MAPLE aqu´ı teniu alguns suggeriments.
Per escriure el nombre complex 2 + 3i, per tal d’operar amb ell,escriurem 2+3*I, ja que el n´
umero
complex i, en MAPLE s’escriu I.
[> 2+3*I;

2 + 3I

Si volem obtenir l’expressi´
o en coordenades polars, escriurem
[> polar(2+3*I);
polar
Aix`o vol dir que el m`
odul ´es

√

√

13, arctan (3/2)

13 i que l’argument ´es arctan (3/2)

0.9827937233.

Per passar de coordenades polars a cartesianes podem fer servir la instrucci´o evalc, aix´ı
[> evalc(polar(3,Pi/2));

3IDe fet la instrucci´
o ”evalc”permet passar a coordenades cartesianes expressions complicades, en definitiva per fer moltes operacions complexes: Posem alguns exemples
[> evalc(exp(3 + 5*I));

exp(3) cos(5) + I exp(3) sin(5)

Observeu, per cert, que la instrucci´
o exp tamb´e servei per operar amb exponencials complexes.
[> evalc(exp(a+b*I));

exp(a) cos(b) + I exp(a) sin(b)

[> evalc(2^(1+I));

2cos(ln(2)) + 2 I sin(ln(2))

[> evalc(conjugate(exp(3+5*I)));

exp(3) cos(5) − I exp(3) sin(5)

[> evalc(polar(r,theta));

r cos(θ) + I r sin(θ)

´ el cas t´ıpic de les arrels n–`essimes
En alguns algunes operacions complexes donen m´es d’un resultat. Es
d’un n´
umero complex. per exemple, si fem
[> evalc(sqrt(2*I));

1+I

´ dir que MAPLE no ens proporciona tots els valors, sin´o l’anomenada“determinaci´o principal de
Es
l’arrel”, que en aquest cas ´es 1 + i.
La manera d’intentar obtenir les dues solucions, passa per treballar en coordenades polars, o exponencials. Recordem que les arrels n-`essimes d’un n´
umero que t´e m`odul R i argument θ, s´on numeros
de manera que el seu m`
odul ve donat per
√
n
R
i el seu arguments s´
on
θ
2π
+k
on k = 0, . . . , n − 1.
n
n
Aix´ı doncs, suposem quevolem calcular l’arrel cuadrada de 2i, podem fer
[> polar(2*I);
polar 2, 12 π

Aix´ı doncs el m`odul de 2i ´es 2 i l’argument ´es π2 . Ara podem fer un petit bucle per tal que de calcular
els arguments de l’arrel quadrada. Aquest petit bucle us servir`a per arrels d’ordre n. Fixeu-vos amb
la sint`axi. (obviament, aquests c`
alculs es poden fer per procediments m´es manuals!):
[> n:=2;
[>modul:=sqrt(2);
[> for k from 0 to n-1 do:
arg[k]:=(Pi/2)/2+k*2*Pi/n;
od;
2

21/2

1
π
4
5
π
4
√
Aix´ı doncs els m`
oduls de les arrels quadrades de 2i s´on 2, i els arguments
volem obtenir les solucions en coordenades cartesianes podem fer
[> solucio1:=evalc(polar(modul,arg[0]));

π
4

i

5π
4

respectivament. si

1+I
[> solucio2:=evalc(polar(modul,arg[1]));
−1 − I

EXERCICIS

1. Trobeu el m`
odul il’argument de
(a) −5 + 5i;

(b) 4 + 3i;

(c) 4 − i(3 − i).

Escriviu aquests n´
umeros en coordenades exponencials.
2. Calculeu
(a) (4 − 3i) + (2i − 8);
3. Demostreu que:
1
(a) Re(z) = (z + z¯);
2

(b)

(3 − 2i)(3 − i)
;
4 − 3i

(b) Im(z) =

(c)

1
(z − z¯);
2i

i − i2 + i3 + i4
;
1−i

(c) z · z¯ = |z|2 .

(d) (−1 + i)8 .

4. Expresseu en forma bin`
omica
πi

πi

πi

(b) e− 4 ;

(a) e 4 ;

(d) e2+5πi.

(c) e 2 · i;

5. Expresseu en forma bin`
omica tots els numeros complexos que resulten de la operaci´o
6. Expresseu en forma exponencial tots els numeros complexos que resulten de la operaci´o

√
4
3

eiπ .

√
1 + i 3.

7. Feu servir la f`
ormula d’Euler per demostrar que
eiθ + e−iθ
,
2

cos(θ) =

i que

sin(θ) =

eiθ − e−iθ
.
2i

8. Considereu el n´
umero z = a + bi. Demostreu que ez¯ = ez .
9.Feu servir la f´
ormula d’Euler: ejα = cos α + j sin α, per a simplificar les expressions:
(a) e−kπi + ekπi .
π

π

π

π

(b) e−ki 2 + eki 2 .
(c) e−ki 2 − eki 2 .
10. Trobeu tots els zeros dels polinomis
s3 + 1

(a)

(b)

s5 − 32i

11. Dibuixeu els seg¨
uents subconjunts del pla:
(a) 1 ≤ |z − 3 − 2i| ≤ 2
(d) 0 < Im( z1 ) < 1

(b)
(e)

|z − 2| + |z + 2| = 8
|z − 4| ≥ |z|

(c) zz = 16
(f)...