Teoria

TEMA 5 – FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS – MATE I – 1º Bach

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TEMAS 5 – FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMETRÍAS
5.1 – UNIDAD PARA MEDIR ÁNGULOS: EL RADIÁN
DEFINICIÓN DE RADIAN
Se llama radian a un ángulo tal que el arco que abarca tiene la misma longitud que el
radio con el que se ha trazado.
Ángulo completo =

2πr
= 2π
r

Nota: Si una circunferencia fuera el doble de grande, el radio tambiénsería el doble, por
lo que el ángulo correspondiente a un arco que mida como el radio sería el mismo.
RELACIÓN ENTRE LAS UNIDADES DE MEDIDA DE ÁNGULOS
360º

2Π rad

ó

Π rad

180º

UTILIDAD DE LOS RADIANES
Para los problemas de trigonometría, astronomía, navegación y resolución de triángulos
en general, se usan las medidas de los ángulos en grados. Pero para representar y
estudiar funcionestrigonométricas se utilizan los radianes.
CALCULADORA
Para hallar las razones trigonométricas de un ángulo dado en radianes, hay que empezar
poniendo la calculadora en modo correspondiente (MODE RAD). El resto es igual que
en grados.

5.2 – FUNCIONES CIRCULARES
FUNCIÓN SENO
Grados

0º

30º

45º

60º

90º

120º 135º 150º

180º 210º 225º 240º 270º 300º

315º 330º 360º

Radianes

0

Π/6

Π/4

Π/3

Π/22Π/3

3Π/4

5Π/6

Π

7Π/6

5Π/4

4Π/3

3Π/2

5Π/3

7Π/4

11Π/6

2Π

seno

0

1/2

2/2

3/2

1

3/2

2/2

1/2

0

-1/2

-2/2

-3/2

-1

-3/2

-2/2

-1/2

0

TEMA 5 – FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS – MATE I – 1º Bach
CARACTERÍSTICAS
- Dominio : R
- Recorrido : [-1,1]
- Periodicidad : 2π
- Continua
- Creciente (0º+360ºk,90º+360ºk) ∪ (270º+360ºk,360º+360ºk)
- Decreciente (90º+360ºk,270º+360ºk)
-Máximo x = 90º+360ºk y = 1
- Mínimo x = 270º+360ºk y = -1
- Concava: (0º+360ºk,180º+360ºk)
- Convexa: (180º+360ºk,360º+360ºk)
- Puntos de inflexión x = 0º+180ºk y = 0
FUNCIÓN COSENO
Grados

0º

30º

45º

60º

90º

120º 135º 150º

180º 210º 225º 240º 270º 300º

Radianes

0

Π/6

Π/4

Π/3

Π/2

2Π/3

3Π/4

5Π/6

Π

7Π/6

5Π/4

4Π/3

3Π/2

5Π/3

7Π/4

11Π/6

2Π

cos

1

3/2

2/2

1/2

0

-1/2

-2/2-3/2

-1

-3/2

-2/2

-1/2

0

-1/2

-2/2

-3/2

1

CARACTERÍSTICAS
- Dominio : R
- Recorrido : [-1,1]
- Periodicidad : 2π
- Continua
- Creciente (180º+360ºk,360º+360ºk)
- Decreciente (0º+360ºk,180º+360ºk)
- Máximo x = 0º+360ºk y = 1
- Mínimo x = 180º+360ºk y = -1
- Concava: (0º+360ºk,90º+360ºk) ∪ (270º+360ºk,360º+360ºk)
- Convexa: (90º+360ºk,270º+360ºk)
- Puntos de inflexión x = 90º+180ºk y = 0315º 330º 360º

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FUNCIÓN TANGENTE
Grados

0º

30º

45º

60º

90º

120º 135º 150º

180º 210º 225º 240º 270º 300º

Radianes

0

Π/6

Π/4

Π/3

Π/2

2Π/3

3Π/4

5Π/6

Π

7Π/6

5Π/4

4Π/3

Tag

0

3/3

1

3

-3

-1

-3/3

0

3/3

1

3

3Π/2

315º 330º 360º

5Π/3

7Π/4

11Π/6

2Π

-3

-1

-3/3

0

CARACTERÍSTICAS
- Dominio : R –{90º+180ºk}
- Recorrido : R
- Periodicidad : π
- Continua: R – {90º+180ºk}
- Creciente R – {90º+180ºk}
- Concava: (0º+180ºk,90º+180ºk)
- Convexa: (90º+180ºk,180º+180ºk)
- Puntos de inflexión x = 90º+180ºk y = 0

5.3 – FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
Seno de la suma: sen (α
α + β ) = sen α.cos β + cos α.sen β
Sen (α + β) = BP = CA + AQ
CA : cos α = CA/BA ⇒ CA =BA.cosα
AQ : sen α = AQ/OA ⇒ AQ = OA.sen α
BA = sen B
OA = cos B
Por tanto: sen (α + β) = sen β.cos α + cos β.sen α

TEMA 5 – FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS – MATE I – 1º Bach

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Coseno de la suma : cos (α
α + B) = cosα
α.cosα
α - senα
α.senβ
β
Cos (α + B) = sen [90º+(α+β)] = sen [(90º+α)+β] = sen(90º+α).cosβ + cos(90º+α).senB
= cosα.cosB + (– sen α).sen β = cosα.cosβ - senα .senβ
Tangentede la suma : tag(α + β ) =

tagα + tagβ
1 − tagα.tagβ

sen α. cos β cos α sen β
+
sen(α + β) sen α. cos β + cos α. sen β cos α. cos β cos α. cos β
Tag(α+β) =
=
=
=
cos(α − β) cos α.. cos β − sen α. sen β cos α. cos β sen α. sen β
−
cos α. cos β cos α. cos β
tagα + tagβ
=
1 − tagα.tagβ
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
Seno de la resta: sen (α
α - β ) = senα
α.cosβ
β -...