Teoria2BIOII0910

Tema 2

Ecuaciones diferenciales aplicadas a la
Biolog´ıa
2.1

Introducci´
on

Existen numerosos modelos matem´aticos de diversa ´ındole que se utilizan hoy en d´ıa para el estudio
de problemas en Biolog´ıa y otras ciencias experimentales; sus objetivos principales son describir,
explicar y predecir fen´omenos y procesos en dichas ´areas. La gran parte de tales modelos matem´aticos
se expresamediante ecuaciones diferenciales.
El objetivo de este tema es describir brevemente algunos de los conceptos b´asicos relacionados con
las ecuaciones diferenciales ordinarias, mostrar t´ecnicas elementales de su resoluci´on, as´ı como exponer
ejemplos pr´acticos de aplicaciones.
Una ecuaci´
on diferencial es una ecuaci´on en que la inc´
ognita es una funci´on: no el valor de la
funci´on en uno ovarios puntos, sino la funci´on en s´ı misma. Adem´as, la ecuaci´on involucra no s´olo la
funci´on (inc´ognita), sino tambi´en sus derivadas hasta un cierto orden.
Cuando la inc´ognita es una funci´on de una sola variable se dice que la ecuaci´on es ordinaria, debido
a que la o las derivadas que aparecen son derivadas ordinarias (por contraposici´on a las derivadas
parciales de las funciones de variasvariables).
Por ejemplo,
y (t) = −y(t)

(2.1)

es una ecuaci´on diferencial ordinaria (edo) de primer orden, ya que la m´axima derivada que aparece
en ella es la de primer orden. Si no resulta confuso se suele escribir tambi´en esta ecuaci´on en la forma
y = −y, omitiendo la menci´on expresa a la dependencia de y respecto a la variable independiente, t.
Resolver esta ecuaci´on consiste enencontrar una o varias funciones y = y(t) que verifiquen la
igualdad y (t) = −y(t), para todo t perteneciente a un cierto intervalo I. Una tal funci´on se dice que
es una soluci´
on de la edo en el intervalo I.
Con car´acter general, una ecuaci´
on diferencial ordinaria de primer orden se escribe:
y = f (t, y)

(2.2)

y se dice que y = y(t) es soluci´
on en I de esta ecuaci´on si se verifica
y (t) =

dy(t)
dt

= f (t, y(t)),
1

∀ t ∈ I.

(2.3)

Ecuaciones diferenciales aplicadas a la Biolog´ıa

2

Por ejemplo, la funci´on y = e−t es soluci´on de la ecuaci´on (2.1) en cualquier intervalo I ⊂ R, ya
que
y (t) = −e−t = −y(t),

∀ t ∈ R.

Pero tambi´en es soluci´on cualquier funci´on de la forma y = Ce−t siendo C una constante arbitraria,
puesto que
y (t) = −Ce−t = −y(t), ∀t ∈ R.
6

4

2

0

−2

−4−6
0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Figura 2.1: Curvas de la familia y(t) = Ce−t ,
soluciones de la ecuaci´on (2.1), para diversos
valores de C.
As´ı pues, la ecuaci´on (2.1) tiene infinitas soluciones, lo que no es una particularidad de esta ecuaci´on
concreta. La ecuaci´on diferencial ordinaria (2.2) posee, en general, una “familia” de infinitas soluciones
on general de (2.2). Para
dependientes de unaconstante arbitraria, a la que se suele llamar soluci´
cada valor de dicha constante arbitraria se obtiene una soluci´
on particular.
Con frecuencia, en las aplicaciones, lo que interesa es encontrar una soluci´on particular que verifica
alguna condici´on adicional. Por ejemplo, que toma un valor dado para un valor, tambi´en dado, de la
variable independiente. En este caso, el problema que seplantea se escribe:
y = f (t, y)
y(t0 ) = y0 ,

(2.4)

y recibe el nombre de problema de valor inicial. El nombre proviene del hecho de que, con frecuencia,
la variable independiente, t, representa el tiempo, y el valor t0 es el instante en que comienza un
experimento, observaci´on o simulaci´on.
En general, si se verifican ciertas condiciones razonables de regularidad de la funci´on f , el problema
devalor inicial (2.4) tiene soluci´on u
´nica.
Por ejemplo, el siguiente problema de valor inicial, asociado a la ecuaci´on (2.1),
y = −y
y(0) = 1 ,

(2.5)

tiene una u
´nica soluci´on, y = e−t , que se puede encontrar imponiendo la condici´on inicial, y(0) = 1,
a las funciones de la familia de soluciones, y = Ce−t , y deduciendo para qu´e valor de la constante
arbitraria C se cumple la...