Teorias de juegos

Moisés Villena Muñoz

Cap. 1

La integral Indefinida

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1.1 DEFINICIÓN 1.2 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
1.2.1 FORMULAS 1.2.2 PROPIEDADES 1.2.3 INTEGRACIÓN DIRECTA 1.2.4 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN 1.2.5 INTEGRACIÓN POR PARTES 1.2.6 INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1.2.7 INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES. FRACCIONES PARCIALES

OBJETIVO:
•

Encontrar algebraicamente integrales

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La integral Indefinida

En la antigüedad existían dos problemas a resolver; el de la recta tangente, como ya lo mencionamos anteriormente, y el otro es el del área bajo una curva. El problema de la determinación del área bajo una curva se lo resuelve con las nociones del cálculo integral los cuales mencionaremos a partir en este capítulo. En primerainstancia empezaremos hallando antiderivadas (proceso contrario al de la derivación) que luego utilizaremos para los propósitos del cálculo integral.

1.1 DEFINICIÓN

Sea f una función de variable real definida en un intervalo I . Si f es la derivada de una función F entonces a F se la llama antiderivada, primitiva o integral indefinida de f en I . Es decir: f ( x) = F ´( x)
La función

f

ahoraserá una derivada.

Ejemplo
Suponga que f ( x ) = x 2 , entonces una antiderivada podría ser F ( x ) = asegurarse que se obtiene f ).
x3 (derive F para 3

Observe que la f del ejemplo anterior podría tener otras antiderivadas, por

x3 x3 + 5 , como también sería F ( x ) = − 7 . Esto significa que ejemplo F ( x ) = 3 3
para una derivada habrá muchas antiderivadas, la diferencia sería sóloen la constante. Lo cual también significa que las primitivas son una familia de curvas.

1.1.1 TEOREMA

Sea f una función de variable real. Las Antiderivadas de f difieren en una constante.
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1.1.2 NOTACIÓN La notación que emplearemos para referirnos al cálculo de una antiderivada es la siguiente:

∫ f ( x)dx = F ( x) + CBien, ahora dediquémonos a encontrar antiderivadas o integrales indefinidas.

1.2 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
Integración significa calcular antiderivadas o primitivas, el proceso contrario de la derivación. Primeramente, podemos pensar que se va a poder determinar la antiderivada empleando fórmulas, igual como se lo hacia en el calculo de derivadas. Como se ha mencionado que es el proceso contrario,por tanto podemos proponer formulas en sentido contrario a las de derivadas. 1.2.1 FORMAS (FÓRMULAS) ESTÁNDARES DE INTEGRALES
1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

∫ dx = x + C x x dx = ∫ n +1 + C ; 1 ∫ x dx = ln x + C ∫ e dx = e + C a a dx = ∫ ln a + C ∫ sen xdx = − cos x + C ∫ cos xdx = sen x + C ∫ sec xdx = tan x + C ∫ csc xdx = − cot x + C
n +1 n
x x x x 2 2

n ≠ −1

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10.

11.

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13.

14.

15.

∫ sec x tan xdx = sec x + C ∫ csc x cot xdx = − csc x + C ∫ tan xdx = − ln cos x + C = ln sec x + C ∫ cot xdx = ln sen x + C ∫ sec xdx = ln sec x + tan x + C ∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C

Las primeras 11 fórmulas se las puede entender fácilmente de acuerdo a las formulas que seproporcionaron para derivadas. Las formulas 11 a la 15 se las puede justificar derivando las antiderivadas propuestas (parte derecha de las igualdades), aunque con todas se podría hacer lo mismo. Ejemplo 1
Calcular

∫ x dx
2
2 ∫ x dx =

SOLUCIÓN:
Sería cuestión de emplear la formula 2 (Regla de la potencia)

x 2 +1
2 +1

+C =

x3 +C 3

x3 + C , si quisiéramos una solución en 3 particulardeberíamos conocer un punto de la curva, por ejemplo suponga que y = 1 cuando x = 1 , reemplazando se puede calcular el valor de C :
La solución es una familia de curvas de la forma F ( x ) = y =

1=

13 +C 3 2 C= 3

Por tanto, la solución particular sería: F ( x ) =

x3 2 + 3 3

4

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Ejemplo 2
Calcular

∫

1 x

dx...