Teorias de linea de espera

MODELO (M / M / 1)
En las situaciones cotidianas es fácil encontrar ejemplos de llegadas aleatorias, puesto que las llegadas serán aleatorias en cualquier caso en la que una de ellas no afecte a las otras. Un ejemplo clásico de llegadas aleatorias son las llamadas que arriban a un conmutador telefónico o un servicio de emergencia.
 Se ha determinada que las ocurrencias aleatorias de un tipoespecial pueden describirse a través de una distribución discreta de probabilidad bien conocida, la distribución de Poisson. Este tipo especial de llegadas aleatorias supone características acerca de la corriente de entrada. En primer lugar, se supone que las llegadas son por completo independientes entre sí y con respecto al estado del sistema.
En segundo lugar la probabilidad de llegada duranteun periodo específico no depende de cuando ocurre el periodo, sino más bien, depende solo de la longitud del intervalo. Se dicen que estas ocurrencias carecen de "memoria".
Si conocemos el número promedio de ocurrencias por periodo, podemos calcular las probabilidades acerca del número de eventos que ocurrirán en un periodo determinado, utilizando las probabilidades conocidas de la distribuciónde Poisson.
En particular, existe un promedio de l llegadas en un periodo, T, la probabilidad de n llegadas en el mismo periodo esta dado por:
 
P [n llegadas en el tiempo T] =
Por ejemplo si existe un promedio de 6 llegadas aleatorias por hora, la probabilidad de que haya solo 3 llegadas durante una hora está dada por:
P [6 llegadas en el tiempo en una hora] = = 0.0892
 Tiempo de servicioaleatorio (M / M / 1)
Al igual que las llegadas aleatorias, la ocurrencia de tiempos de servicios aleatorios, carentes de memoria, es suceso bastante común en las situaciones cotidianas de líneas de espera. Y al igual que las llegadas aleatorias los tiempos de servicio carentes de memoria se describen a través de una distribución de probabilidad.
La diferencia entre las llegadas aleatorias y lostiempos de servicio aleatorios es que estos se describen a través de una distribución continua en tanto que las llegadas se describen a través de una distribución de Poisson, que es discreta. Si la duración de los tiempos de servicio es aleatoria, la distribución exponencial negativa describe ese tipo de servicio. Si la m es la tasa promedio de servicio entonces la distribución está dada por:
F(t) = m e-m t
Es posible emplear esta fórmula para calcular la probabilidad de que el servicio sea más prolongado que alguna duración especificada de tiempo T. En la siguiente figura se representa es modelo.
Características de operación
Para calcular las características de operación de una cola M / M / 1, primero debemos de observar que sí l = tasa promedio de llegadas y m = tasa promedio deservicio, entonces l debe de ser menor que m. Si esto no ocurriera el promedio de llegadas sería superior al número promedio que se atienden y el número de unidades que están esperando se volvería infinitamente grande. Si hacemos que r = l / m puede denominarse a r como factor de utilización. Este valor es la fracción promedio de que el sistema este ocupado, también sería el número promedio deunidades que están siendo atendidas en cualquier momento. En términos de probabilidad tendríamos que:
Pw = probabilidad de que el sistema esté ocupado.

Entonces la probabilidad de que el sistema no esté trabajando, o esté vacío, P0, puede obtenerse por medio de:
 
A partir de esto podemos obtener la probabilidad de que haya n unidades en el sistema, Pn, mediante:

 En donde n es cualquier enterono negativo. Este importante resultado nos permite calcular las características de operación de las líneas de espera.
La primera característica de operación que calculamos es el número promedio de unidades que se encuentran en el sistema, ya sea esperando o siendo atendidas. Denominaremos a este número promedio de unidades promedio, L. Entonces tenemos que:

Con estos valores obtenidos...