Teorias De Sistemas

Introducción a la Teoría de Sistemas

Grupo de Inteligencia Artificial y Sistemas
Departamento de Informática y Sistemas Universidad de Las Palmas de Gran Canaria

Práctica: Descripción Externa de los Sistemas Dinámicos (Sistema de Control de Nivel y Caudal)

Junio, 1.999

Sumario

1. Enunciado. 1 2. Análisis del Sistema y Modelo Lineal 3 3. Análisis del comportamiento en función deVr(t) y β(t) 4. Listado MATLAB Orientativo 13 11

5. Análisis Comparativo entre los Modelos Lineal y No lineal. 15 6. Diagramas SIMULINK Orientativos. 16

1. Enunciado.
En el sistema de la figura 1. se dispone de un controlador de nivel (L.C.) y un controlador de flujo (F.C.) para regular el nivel de agua en el depósito cilíndrico con base de área A (A=1 m2) El controlador de nivel compara larespuesta del medidor de nivel (L.T.): Vh(t)= 5h(t) , con una tensión de referencia: Vr(t). Su salida se combina con la del medidor de flujo (F.T.): Vq(t)= 1'56qs2(t) en el controlador de flujo, cuya respuesta actúa sobre la válvula de entrada de agua al tanque, la función de transferencia de esta válvula es: α ( s) 0.2 = V ( s ) 1 + 25s Siendo α(t) la abertura de la válvula. El caudal de entradaresultante es: qe(t)= 4 α(t) en l/s. El caudal de salida podemos asumirlo en la forma: q s (t ) = K β (t ) h(t )

V

Vr qe
+ -

1.25

Vn
1
+

LT

h(t)

Vh (t)

L.C.

0.016

+

V q
FT

F.C.

ß q
s

Figura 1.

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1Donde se incluye una aproximación del área de la sección de apertura de la válvula, β(t), la velocidad de salida del líquido y una constante K que dependerá de la geometría de la válvula (que tomaremos K=4 en nuestro caso). Para los controladores de nivel (L.C.) y de Caudal (F.C.) de la figura se cumplen: V n (t ) = 1.25(V r (t ) − V h (t ) ) V (t ) = V n (t ) + 0.016V q (t ) Si definimos un punto deequilibrio del sistema en Vro=7v. y ßo=0.5. se desea: a) Obtener un modelo lineal en términos de descripción externa (matriz de transferencia) del sistema para el punto de equilibrio anterior. b) Estudiar para variaciones en Vr(t) y β(t) el comportamiento del mismo, mediante los comandos ft, lsim y ltview de MATLAB c) Evaluar analíticamente la salida h(t) si se abre la válvula de salida, esto es,si β pasa de 0.5 a 0.6. d) Comparar con Simulink los modelos Lineal y No-lineal.

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2

2. Análisis del Sistema y Modelo Lineal
En nuestro caso, las ecuaciones que definen al sistema serán: (1) Caudal de entrada: q e (t ) = 4α (t ) (2) Ecuacióndiferencial derivada de la función de transferencia de la válvula neumática de entrada: dα (t ) α (t ) + 25 = 0.2V (t ) dt (3) Caudal de salida: q s (t ) = K β (t ) h(t ) (4) Medidor de nivel (L.T.) V h (t ) = 5h(t ) (5) Controlador de nivel (L.C.) V n (t ) = 1.25(V r (t ) − V h (t ) ) (6) Medidor de flujo (F.T.): Vq (t ) = 1.56q s (t )
2

(7) Controlador de flujo (F.C.): V (t ) = V n (t ) + 0.016V q(t ) (8) Ecuación de continuidad en el tanque: q e (t ) − q s (t ) = A dh(t ) dt

A continuación procederemos a evaluar las distintas variables en el punto de equilibrio, asumiendo que las derivadas nulas en las ecuaciones (2) y (8), nos resultan:

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q eo = 4α o α o = 0.2Vo
q so = K βo ho

V no

Vho = 5ho = 1.25(V ro − V ho ) V qo = 1.56q so
2

Vo = Vno + 0.016V qo q eo − q so = 0 Con Vro=7v. y ßo=0.5, y utilizando las ecuaciones anteriores, queda:

(0.00624 K

2

− 6.25) ho + 17.5(0.00624 K 2 − 6.25) − 0.3906 K 2 ho + 76.56 = 0
2 2

[

]

Que, particularizando para K=4, obtenemos la siguiente ecuación: 37.82ho −...