teorias

.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.
Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K. W se denomina un subespacio de V si es a su vez un espacio vectorial sobreK con respecto a las operaciones de V, suma vectorial y producto por un escalar. Un criterio simple para identificar subespacios es el siguiente.

Teorema: supongamos que W es un subconjunto de unespacio vectorial V. entonces W es un subespacio de V si y solo si se cumple:
1. 0єW
2. W es cerrado bajo la suma de vectores, es decir: para todo par de vectores u, vєW, la suma u+vєW.
3. W escerrado bajo el producto por un escalar, esto es: para todo uєW y para todo kєK el múltiplo kuєW.


Corolario: W es un subespacio de V si y solo si:
1. 0єW.
2. au+bvєW para todos los u, vєW y a,bєK.


Ejemplo: sean U y W subespacios de un espacio vectorial V. probemos que la intersección UW es también subespacio de V. claramente, 0U y 0W, porque U y W son subespacios, de donde 0UW.supongamos ahora que u, vUW. entonces u, vU y u, vE y, dado que U y W son subespacios, u+v, kuU y u+v, kuW para cualquier escalar k. así u+v, kuUW y por consiguiente UW es un subespacio de V. Elresultado del ejemplo precedente se generaliza como sigue.

Teorema: la intersección de cualquier número de subespacios de un espacio vectorial V es un subespacio de V.

Recuérdese que todasolución de un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas AX=B puede verse como un punto en Kn y por tanto el conjunto solución de tal sistema es un subconjunto de Kn. Supongamos que el sistemahomogéneo, es decir, supongamos que el sistema tiene la forma AX=0. Denotemos por W su conjunto solución. Como A0=0, el vector cero 0W además, si u y v pertenecen a W, esto es, si u y v son soluciones de AX=0,necesariamente Au=0 y Av=0. Por esta razón, para todo par de escalares a y b en K, tendremos A(au+bv)=aAu+bAv=a0+b0=0+0=0. De esta manera, au + bv es también una solución de AX=0 o, dicho de...