Teorias

TEOREMA DE POINCARE-BENDIXON
3.1 SISTEMAS DINÁMICOS AUTÓNOMOS NO LINEALES
El sistema X´=F(X) es un sistema dinámico autónomo no lineal, si el campo vectorial F:W→Rn con W⊂Rn conjunto abierto, no depende del tiempo t, n-dimensional F(X); son continuas y además son funciones lipschitzianas en forma local de X, definidas para todo Y0 en el dominio W⊂Rn.
La condición de Lipschitz garanticala existencia de la solución del sistema (i) que satisface la condición inicial X(0)=Y0.
3.2 CONJUNTOS ω –LÍMITE CONJUNTOS α- LÍMITE DE UNA ÓRBITA
Consideremos el sistema dinámico autónomo no lineal:
X´=F(x)
Siendo F:W→Rn el campo vectorial definido en el conjunto abierto W⊂Rn.
Un conjunto P es positivamente invariante para el sistema dinámico no lineal (1), si para cada punto XϵP ;φt(X) esta definida en P; ∀ t ≥0 donde φt es el flujo asociado al sistema dinámico autónomo no lineal (1).
Una orbita completa de sistema dinámico autónomo no lineal (1) es un conjunto de la forma {φt(X)/ tϵR} , donde φt(X) eta definida ∀ t∈R.
Sea X∈W⊂ Rn un punto singular o punto de equilibrio (f(X )= 0 ) del sistema dinamice autónomo no lineal (1)
Imaginemos una trayectoria uorbitaXt,0≤t< ∞ . En el conjunto positivamente invariante P y supongamos que Xt no tiende a X cuando t→ ∞ , entonces existirá un punto A≠X en P una sucesión tn→ ∞ de modo que limn→∞X(tn)=A.
Sea L conjunto de todos los puntos A∈W , es decir:
L={A ∈W/ ∃ tn →∞, con Xtn →A}
Con todo punto de L es limite de puntos de P y P es cerrado en W, se tendrá que L⊂P .Además si A∈L , entonces la orbita completa de Aesta contenida en L: es decir φt(A) es definida en L , ∀ t∈R .
El conjunto L definido anteriormente, se llama conjunto de los puntos ω-Limite o conjuntos ω-limite de la trayectoria u orbita X(t) (o de cualquier punto de la orbita) y se denota por Lω(A).
Análogamente, se define el conjunto de los puntos ω-Limite o conjuntos ω-limite de la trayectoria u orbita Y(t) ( o de cualquier punto dela orbita ) como el conjunto de todas los puntos B∈W tales que limn→∞Y(tn)=B para alguna sucesión tn→ -∞ y se denota por Lα(B).
OBSERVACIÓN
Un conjunto limite es cerrado en W⊂Rn y es invariante por su flujo.
EJEMPLOS DE CONJUNTO LÍMITE
[1] Si X es un punto de equilibrio asintóticamente estable, entonces es el conjunto ω-Limite de todo punto de su cuenca.
[2] Todo punto deequilibrio es su propio conjunto ω-Limite y también α-Limite de cada uno de sus puntos.
[3] Una orbita cerrada es el conjunto ω-Limite y ∝-Limite de cada uno de sus puntos.
[4] Existen ejemplos de conjuntos limites que no son ni orbitas cerradas ni puntos de equilibrio, por ejemplo la lineal con forma de 8 en el flujo de la figura.
Aquí hay tres puntos de equilibrio: Dosfuentes (repulsores) y un punto de silla.
El 8 es el conjunto ω-Limitede todos los puntos exteriores a él; la mitad derecha del 8 es el conjuntó ω-Limite de todos los puntos interiores excepto el punto de equilibrio, y análogamente para la mitad de la izquierda.
Esta figura es típica, en el sentido de que se puede probar que un conjunto límite que no sea una orbita cerrada o un punto deequilibrio, esta formada por todos los puntos de equilibrio y trayectorias que los unen.
PROPOSICIÓN 3.2.1
a) Si X, Z son puntos que están en la misma orbita, entonces LωX= Lω(Z); análogamente para ∝-limites.
b) Si D es u n conjunto cerrado positivamente invariante y Z∈D , entonces LωZ⊂D; análogamente para conjuntos negativamente invariantes y ∝-limites.
c) Un conjunto invariante cerrado,en particular un conjuntó límite, contiene los conjuntos ∝-limite de cada uno de sus puntos.
3.3 SECCIONES LOCALES Y CAJAS DE FLUJO
Consideremos el sistema dinámico autónomo no lineal:
X´=F(X)
Con F :W → Rn campo vectorial definido en el conjunto abierto W ⊂Rn;φt(X) el flujo asociado al sistema dinámico autónomo no lineal (1) y 0∈W ⊂Rn.
Una sección local en “0” de F , es un conjunto...