Teorias

Teorías de conjuntos
La teoría de conjuntos es una división de las materias de las matematicas que estudia los conjuntos.
Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestro pensamiento.
El concepto de conjunto es intuitivo y se podrá definir como una ¨¨ agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados¨¨ : asi, sepuede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa.
Un conjunto esta bien definido si se sabe se un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules esta bien definido, por que a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas noesta bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas. Que opinen si esa persona es alta o no lo es.
A propósito de la nocion de conjunto, Dedekind dijo que se los imaginaba como un saco cerrado que contiene cosas… de las que no sabemos nada fuera de que existen y son totalmente determinadas. Algún tiempo después, Cantordio a conocer su idea de conjunto: elevo su colosal figura, describió con el brazo erguido un gesto sobervio, y dijo con la mirad perdida: me imagino un conjunto como un abismo.
Notación
Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula: A, B, K…
Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementes tienen carácter individual, tienencualidades que nos permiten diferenciarlos, y con una letra minúscula: a, b, k,…
De esta manera, si A es un conjunto, y a. b, c, d, e todos sus elementos, es común decir
A(a, b , c, d, e)

Para definir a tal conjunto A. esta notación esmplada para definr al conjunto A se llama notación por extension.
Para representar que un elemento X pertenece a un conjunto A, escribimos , en A, ¨¨X pertenece aA¨¨ o bien ¨X es un elemento de A¨¨). la negación de X E, A se escribe .

El conjunto universal que siempre representamos con la letra U, es el conjunto de todas las cosas sobre las que estamos tratando. Asi, si hablamos de números enteros entonces U es el conjunto de los números enteros, si hablamos de ciudades, U es el conjunto de tyodas las ciudades, este conjunto universal puede mencionarseexpicitamente, o en la myoria de los casos se da por supuesto dado el contexto que estamos tratando, pero siempre es necesario demostrar la existencia de dicho conjunto previamente.
Existe además un único conjunto que no tiene elementos al que se llama conjunto vacio y que se denota por .
Igualdad entre conjuntos, subconjuntos y superconjuntos
Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos A y B se diceniguales, lo que se escribe = B si constan de los mismos elementos. Es decir, si y solo si todo elemento de A esta también contenido en B y todo elemento de B esta contenido en A en simbolos:
:
Subconjuntos y superconjuntos
Un conjunto A se dice que es un subconjunto de otro B, si cada elemento de A es también elemento de B, es decir, cuando se verifique
,
Sea cual sea el elemento X. en talcaso se escribe.
Cabe señalar que, por definición, no se excluye la posibilidad de que se ocupa A= B, si B tiene por lo menos un elemento que no pertenesca ala conjunto A pero si todo elemento de A es elemento de B, entonces decimos que A es un subconjunto propio de B, lo que se representa por , en otras palabras si y solo si , y ,
asi el conjunto vacio es subconjunto propio de todoconjunto (exepto de si mismo), y todo conjunto A es subconjunto de si mismo.
Operaciones con conjuntos
Sean A y B dos conjuntos.
U. unión
Para cada par de conjuntos A y B existe un conjunto Union de lo dos, que se denota como el cual contiene todos los elementos de A y de B. de manera mas general, para cada conjunto S existen otro conjunto denotado como de manera que sus elementos son todos lo X...