Teorica Recta Y Plano - Matemática

Matemática II

Cátedra: Lic. Santa Maria

GEOMETRÍA PLANA Lugar Geométrico
Se llama lugar geométrico al conjunto de puntos del plano o del espacio que cumplen una determinada condición o propiedad. (1) F ( x, y) = 0 Es la ecuación de un lugar geométrico del plano (2) F ( x, y, z ) = 0 Es la ecuación de un lugar geométrico del espacio La recta en el plano En el plano cada punto tiene asociadoa sí mismo un vector con origen en el origen de coordenadas del sistema O = (0;0) y extremo en el punto indicado P = ( x; y ) , entonces podemos expresar esto gráficamente de la siguiente manera:

Así tendremos el vector OP = ( x; y ) que se lee vector OP con origen en el punto O = (0;0) y extremo en el punto P = ( x; y ) Una vez hecha esta aclaración vamos a proceder a deducir las diferentesformas de expresar una recta en el plano, tanto desde el punto de vista vectorial como cartesiano. Cada una de estas expresiones nos permitirá identificar todos los puntos de la misma. Para poder hallar estas diferentes formas de expresar este lugar geométrico necesitaremos: 1) Un punto de la recta y su vector director (indicará la dirección de la misma) 2) Dos puntos por los cuales pasa la recta(pertenecen a ella) 3) Un punto de la recta y su pendiente

Ecuación Vectorial de la recta
Para poder deducir la ecuación de una recta en forma vectorial es necesario conocer: 1) Un punto de la recta y su vector director, o 2) Dos puntos por los cuales pasa la recta

Complementos teóricos

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1) Un punto de la recta y su vector director Dadosun punto P = ( p1 ; p 2 ) de la recta y un vector director u , un punto genérico de la recta X = ( x; y ) tendrá como vector asociado al vector OX , gráficamente la situación sería:

Podemos expresar entonces, aplicando el concepto de suma de vectores que:

OX = OP + PX

(1) (2)

Pero podemos llamar: PX = λ ⋅ u Por ser los vectores PX // u Reemplazando (2) en (1) obtenemos:

∀λ ∈ ℜ − {0}OX = OP + λ ⋅ u
∀λ ∈ ℜ

Ecuación Vectorial de la Recta
2) Dos puntos por los cuales pasa la recta (pertenecen a ella) En el caso de contar con dos puntos pertenecientes a la recta por ejemplo: A = (a1 ; a 2 ) y B = (b1 ; b2 ) podemos considerar el vector AB = (b1 − a1 ; b2 − a 2 ) como el vector director de la recta, entonces la ecuación vectorial de la recta determinada por dos puntossería:

OX = OP + λ ⋅ AB
∀λ ∈ ℜ

Ecuación Paramétrica de la recta en el plano
Para su deducción partiremos de la ecuación vectorial de la recta:

OX = OP + λ ⋅ u ( x; y ) = ( p1 ; p 2 ) + λ ⋅ (u1 ; u 2 ) ( x; y ) = ( p1 + λ ⋅ u1 ; p 2 + λ ⋅ u 2 )
Por igualdad de vectores debe verificarse:

 x = p1 + λ ⋅ u1   y = p2 + λ ⋅ u 2
Ecuación Paramétrica de la Recta
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Ecuación Simétrica de la recta
Partiendo de la ecuación Paramétrica de la recta deduciremos la ecuación expresada en forma simétrica de la misma. Comenzamos despejando el parámetro λ :

λ=
Igualando lo anterior se obtiene:

x − p1 u1

∧

λ=

y − p2 u2

∀u1 ≠ 0 ∧ ∀u 2 ≠ 0

x − p1 y − p 2 = u1 u2
Ecuación Simétrica de la Recta
Esimportante notar que esta expresión de la recta es válida si y sólo si las componentes del vector director son no nulas.

Ecuación General o Implícita
Para poder encontrar esta forma de expresión partiremos de la ecuación simétrica:

x − p1 y − p 2 = u1 u2

⇒ u 2 ⋅ ( x − p1 ) = u1 ⋅ ( y − p 2 ) ⇒ u 2 ⋅ x − u 2 ⋅ p1 = u1 ⋅ y − u1 ⋅ p 2

⇒

u 2 ⋅ x − u 2 ⋅ p1 − u1 ⋅ y + u1 ⋅ p 2 = 0 ⇒ u 2 ⋅ x− u1 ⋅ y − u 2 ⋅ p1 + u1 ⋅ p 2 = 0
Si en la ecuación anterior llamamos: A = u 2 Nos queda:

B = −u1

C = −u 2 ⋅ p1 + u1 ⋅ p 2

A⋅ x + B ⋅ y + C = 0
Ecuación General o Implícita de la Recta
3) Ecuación a partir de un punto de la recta y su pendiente Para hallar esta ecuación debemos partir de la ecuación simétrica de la recta:

x − p1 y − p 2 = u1 u2
Si llamamos: m =

⇒ ( y − p2 )...