teorico logica

Facultad de Ciencias Exactas, Fco.-Qcas. Y Naturales
Departamento de Matemática
LÓGICA MATEMÁTICA ELEMENTAL (Cód. 1934)
Año 2009

EL CONDICIONAL ASOCIADO A UN RAZONAMIENTO

Supongamos que tenemos un razonamiento: P1
P2.
.
.Pn
C

donde P1, P2, … Pn son las premisas y C es la conclusión.

Podemos, a partir de él, construir una proposición condicional cuyo antecedente sea la conjunción de las premisas del razonamiento y cuyo consecuente sea la conclusión del razonamiento, o sea:
p1  p2 … pn  q

A este nueva proposición así construida se la denomina condicional asociado al razonamiento.

Observemos que ahora ya no tenemos un razonamiento sino una proposición.

Ahora, nos preguntamos, ¿qué relación habrá entre un razonamiento y su condicional asociado?

Supongamos que nuestro razonamiento es válido
Por definición, esto significa que su forma lógica noadmite una interpretación que haga verdaderas a las premisas P1, P2, … Pn y falsa a la conclusión C.
Pero esto es equivalente a decir que no existirá ninguna interpretación que haga V a la conjunción: p1  p2 …  pn y F a la proposición C.
O sea, no existirá ninguna interpretación bajo la cual la proposición condicional
p1  p2 …  pn  q tenga su antecedente verdadero ysu consecuente falso.
Es decir, dicha proposición será V bajo cualquier interpretación, o sea, una ley lógica .

Es decir, que:
SI UN RAZONAMIENTO ES VÁLIDO, SU CONDICIONAL ASOCIADO ES UNA LEY LÓGICA.
Y viceversa:
SI EL CONDICIONAL ASOCIADO A UN RAZONAMIENTO ES UNA LEY LÓGICA, ENTONCES EL RAZONAMIENTO ES VÁLIDO.

Así, a cada razonamiento válido le podemos hacer corresponder una ley lógicay viceversa.
Esto nos da una nueva definición de razonamiento válido:
UN RAZONAMIENTO ES VÁLIDO SI Y SÓLO SI SU CONDICIONAL ASOCIADO ES UNA LEY LÓGICA.
y nos permite probar la validez de un razonamiento de otro modo:

1) Dada una forma de razonamiento se construye su condicional asociado, colocando como antecedente la conjunción de las premisas y como consecuente la conclusión delrazonamiento.
2) Analizamos si este condicional es o no una ley lógica. Si el condicional resulta ser ley lógica, esto indicará que el razonamiento del que partimos es válido; de lo contrario, será inválido.

Ejemplo: Supongamos que quiero determinar si la siguiente forma de razonamiento es o no válida: p  s
 (q  s)
 p  qConstruimos su condicional asociado: (p  s)   (q  s)  ( p  q)

Como este condicional es una ley lógica (se puede probar por tabla semántica, por ejemplo), eso nos demuestra que el razonamiento original es válido.
EL PAPEL DE LA LÓGICA EN LAS DEMOSTRACIONES MATEMÁTICAS.
SISTEMAS AXIOMÁTICOS


En general, las proposiciones matemáticas afirman propiedades acerca de todos loselementos de un conjunto infinito de objetos matemáticos. Por ejemplo, la siguiente proposición afirma una propiedad de los números naturales:

(1) IN : Si x es múltiplo de 6, entonces x es par.

Sabemos que para probar que una proposición de este tipo es FALSA, bastaría con dar un contraejemplo, es decir, mostrar que existe un número natural x, que es múltiplo de 6 pero que no es par...